1、第二章 平面向量22 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义内 容 标 准学 科 素 养1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题.应用直观想象提升数学运算学会逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 向量数乘的定义阅读教材 P8788，思考并完成以下问题aaa 其结果能否写成 3a?(1)若OA a，延长OA 到 B，使|OA|AB|，再延长 AB 到
2、C，使|AB|BC|，则OC_其方向如何？长度如何？提示：OC 3a，方向与 a 同向，长度是 a 的 3 倍(2)作PQ a，延长 PQ 到 M，使|PQ|QM|，再延长 QM 到 N，使|MQ|MN|，则PN _其方向如何？长度如何？提示：PN 3a，方向与 a 反向，长度是 a 的 3 倍知识梳理 向量数乘运算实数 与向量 a 的积是一个_，这种运算叫做向量的_，记作_，其长度与方向规定如下：(1)|a|_(2)a(a0)的方向当时，与a方向相同；当时，与a方向相反.特别地，当 0 或 a0 时，0a_或 0_向量数乘a|a|000 0 知识点二 向量数乘的运算律思考并完成以下问题类比实
3、数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？(1)23a 与 32a 相等吗？提示：23a3a3a6a，32a2a2a2a6a，23a32a.(2)3a2a 与(32)a 相等吗？提示：相等，都等于 5a.(3)3(ab)与 3a3b 相等吗？如何用几何图形表示提示：相等，如图OA a，OE b，OC 3a，OD 3b，则EA ab，延长 EA 到 M，使 AM2EA，则EM 3(ab)由于DC 3a3b，由图可知 DC 綊 EM，DC EM，即 3(ab)3a3b.知识梳理 运算律：设，为任意实数，则有：(1)(a)_；(2)()a_；(3)(ab)_；特别地，有()a_；(ab)_aaaab(a)
4、(a)ab知识点三 向量共线定理思考并完成以下问题引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？(1)若 b2a，b 与 a 共线吗？提示：共线(2)如果 a0，b0，若 b 与 a 共线，一定有 b2a 吗？提示：不一定，还可以为任意实数知识梳理(1)向量共线定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使_(2)向量的线性运算向量的_、_、_运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)_思考(1)如果 a0，那么 b 与 a 共线吗？存在吗？ba加法减法数乘1a2b提示：b 与 a 共线，存在无数个值(2)如果 a 与
5、b 不共线，ab，存在吗？提示：存在，0.自我检测1下列各式计算正确的有()(7)6a42a；7(ab)8b7a15b；a2ba2b2a；4(2ab)8a4b.A1 个 B2 个C3 个D4 个答案：C2设 e1，e2 是两个不共线的向量，若向量 me1ke2(kR)与向量 ne22e1共线，则()Ak0 Bk1Ck2 Dk12答案：D探究一 向量的线性运算教材 P88 例 5方法步骤：按数乘运算律进行角度 1 向量式的化简与运算例 1 化简：(1)12（3a2b）a12b 212a38b；(2)23（4a3b）13b14（6a7b）.解析(1)原式122a32b a34ba34ba34b0.
6、(2)原式234a3b13b32a74b23432 a31374 b2352a1112b 53a1118b.角度 2 解含向量的方程(组)例 2 已知3x4ya，2x3yb，其中 a，b 为已知向量，求 x，y.解析 3x4ya，2x3yb，由得 y23x13b，代入，得 3x423x13b a，3x83x43ba，即 17x4b3a，x 417b 317a，y23417b 317a 13b 851b 217a13b 217a 317b.方法技巧 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量
7、的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算跟踪探究 1.(1)3(6ab)9a13b _(2)若 3(xa)2(x2a)4(xab)0，则 x_答案：(1)9a(2)4b3a探究二 向量共线的判定及应用教材 P89 例 6方法步骤：(1)作图；(2)运算；(3)判定角度 1 判定向量共线或三点共线例 3 已知非零向量 e1，e2 不共线(1)若 a12e113e2，b3e12e2，判断向量 a，b 是否共线；(2)若AB
8、 e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A，B，D 三点共线解析(1)b6a，a 与 b 共线(2)证明：AB e1e2，BD BC CD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB，AB，BD 共线，且有公共点 B，A，B，D 三点共线方法技巧(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用 ba(a0)，还要说明向量 a，b 有公共点延伸探究 1.将本例(2)改为：已知非零向量 e1，e2 不共线，
9、如果AB e12e2，BC5e16e2，CD 7e12e2，则共线的三个点是_解析：BD BC CD 2e14e22AB，AB 与BD 共线，又有共同点，故 A，B，D 共线答案：A、B、D角度 2 利用向量共线求参数值例 4 已知非零向量 e1，e2 不共线，欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定 k 的值解析 ke1e2 与 e1ke2 共线，存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，k1.方法技巧 由向量相等或零向量，构造其系数的实数方程，对于非零向量 e1 和 e2，且不共线，当 e1e2 时，则 0.跟
10、踪探究 2.设 e1，e2 是两个不共线向量，已知AB 2e1ke2，CB e13e2，CD 2e1e2，若有 A，B，D 三点共线，求 k 值解析：BD CD CB(2e1e2)(e13e2)e14e2，因为 A，B，D 三点共线，所以AB，BD 共线，所以存在实数 使AB BD，所以 2e1ke2(e14e2)，所以2，k4，所以 k8.探究三 用已知向量表示其他向量教材 P89 例 7方法步骤：用含有AB，AD 的三角形或平行四边形，求所要表示的向量例 5 如图，OADB 是以向量OA a，OB b 为邻边的平行四边形，又BM 13BC，CN 13CD，试用 a，b 表示OM，ON，MN
11、.解析 BA OA OB ab，BM 13BC 16BA 16(ab)，OM OB BM b16(ab)b16a16b16a56b.又由OD OA OB ab，得ON 12OD 16OD 23OD 23a23b.MN ON OM 23a23b 16a56b 12a16b.方法技巧 用已知向量表示未知向量是用向量解题的基本功解题时，应注意解题的方向，尽量把未知向量往已知向量的方向进行转化要善于利用三角形法则和平行四边形法则以及向量线性运算的运算律当题目中含有平面几何的相关问题时，我们可以利用平面几何的性质进行化简另外，直接表示较困难时，应考虑方程思想的应用延伸探究 2.在例 5 中，试用 a，b
12、 表示CM.解析：CM 2BM 216(ab)13a13b.课后小结1共线向量定理的“双向”应用证明向量共线：a 是一个非零向量，若存在一个实数，使 ba，则 b 与非零向量 a 共线用一个向量表示另外一个向量：若 b 与非零向量共线，则存在一个实数，使 ba.2证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在实数，使得AB AC(或BC AB 等)即可(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点存在实数 x，y，使OA xOB yOC，且 xy1.3数乘向量的结果是一个向量，特别地，a0 0 或 a0.不能把实数与实数的乘积的有关规律随意
13、地拓展到数乘向量中来4在共线向量定理 ba 中，要求 a0.素养培优1忽视向量共线的方向典例 设两向量 e1，e2 不共线，若向量 2te17e2 与向量 e1te2 共线，求实数 t的值易错分析 忽视两非零向量反向共线的情况而漏掉一解自我纠正 解析 向量 2te17e2 与向量 e1te2 共线，存在实数，使得 2te17e2(e1te2)，即 2t，且 7t，解得 t 142.故所求实数 t 的值为 142.2忽视共线向量定理中 a0典例 已知实数 m，n 和向量 a，b，有下列说法：m(ab)mamb；(mn)amana；若 mamb，则 ab；若 mana，则 mn.其中正确的说法有_自我纠正 解析 符合向量运算的分配律，正确；中，当 m0 时，mamb0，但 a 与 b 不一定相等，不正确；中，如果 a0，则 m，n 为任意实数，不正确答案 课时 跟踪训练