1、3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学 习 目 标核 心 素 养1.了解两角差的余弦公式的推导过程(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤(难点)3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算(重点、易混点)1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.1两角差的余弦公式公式cos()cos cos sin sin 适用条件公式中的角，都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反思考：cos()cos cos 成立吗？提示不一定成立，这是对
2、公式的误解2两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作，它们的终边与单位圆分别交A，B，则图1(cos ，sin )，(cos ，sin )，cos cos sin sin ，设与的夹角为，则由数量积定义知|cos cos ，cos cos cos sin sin .2k(如图1)或2k(kZ)(如图2)，2k(kZ)，图2所以cos()cos ，所以cos()cos cos sin sin .1cos 65cos 35sin 65sin 35等于()Acos 100Bsin 100C. D.C原式cos(6535)cos 30.2cos(15)的值是()A.B.C.
3、D.Dcos(15)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.3cos(35)cos(25)sin(35)sin(25) .原式cos(35)(25)cos(60)cos 60.4已知是锐角，sin ，则cos .由条件可求的cos ，coscoscos sinsin .给角求值问题【例1】(1)cos的值为()A.B.C. D(2)求下列各式的值：cos 75cos 15sin 75sin 195；sin 46cos 14sin 44cos 76；cos 15sin 15.(1)Dcoscoscoscoscoscossinsin.(2)解cos 75co
4、s 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60.sin 46cos 14sin 44cos 76sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.1解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公
5、式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值2两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦(2)把所得的积相加化简下列各式：(1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；(2)sin 167sin 223sin 257sin 313.解(1)原式cos(21)(24)cos 45.(2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30).给值(式)求值问题探究问题1若已知和的三
6、角函数值，如何求cos 的值？提示：cos cos()cos()cos sin()sin .2利用()可得cos 等于什么？提示：cos cos()cos cos()sin sin()【例2】(1)已知sin sin 1，cos cos ，则cos()()A BC. D.(2)已知sin，求cos 的值思路点拨：(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C()求cos()(2)由已知角与所求角的关系即寻找解题思路(1)D因为sin sin 1，所以sin22sin sin sin2，因为cos cos ，所以cos22cos cos cos2，由两式相加得12cos()11所
7、以2cos()，所以cos().(2)解，cos.，cos coscoscossinsin.1将本例(2)的条件改为“sin，且”，如何解答？解sin，且，cos，cos coscoscos sinsin .2将本例(2)的条件改为“sin，”，求cos的值解，又sin0，0，cos，coscoscoscossin.给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：()；2()()；,2()().给值求角问题【例3
8、】(1)已知，均为锐角，且sin ，sin ，则 (2)已知cos ，cos()，则 .思路点拨：(1)(2)(1)(2)(1)，均为锐角，cos ，cos .cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.(2)，(0，)cos ，cos()，sin ，sin()，cos cos()cos()cos sin()sin .0，.1本例(1)中“sin ”变为“cos ”，“sin ”变为“cos ”，的值怎样？解，均为锐角，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .sin sin ，0.0.2若本例(2)变为：已知cos ，cos()，且0，结
9、果怎样？解由cos ，0，得sin .由0，得0.又因为cos()，所以sin().由()得cos cos()cos cos()sin sin()，所以.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围而得到错误答案.1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆
10、角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值(2)确定角所在的范围(找区间)(3)确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定1下列命题正确的是()A对于任意角，都有cos()cos cos B对于任意角，都有cos()cos cos C不存在角，使得cos()cos cos sin sin D存在和，使得cos()cos cos sin sin DA明显不成立；B中当，时，等式成立，B不成立；C中，当k或k时(kZ)等式成立，D正确，因为当0时，等式成立2cos 50()Acos 70cos 20sin 70sin 20Bcos 70sin 20sin 70cos 20Ccos 70cos 20sin 70sin 20Dcos 70sin 20sin 70cos 20C507020，根据两角差的余弦公式知C正确3若sin sin 1，则cos()的值为 1由sin sin 1，得cos cos 0，cos()cos cos sin sin 1.4已知sin ，sin ，且180270，90180，求cos()的值解因为sin ，180270，所以cos .因为sin ，90180，所以cos .所以cos()cos cos sin sin .