1、1.3.3函数的最大(小)值与导数内容标准学科素养1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值、最小值的概念；2.弄清函数的最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件；3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.提升直观想象加强逻辑推理规范数学运算授课提示：对应学生用书第16页基础认识知识点一闭区间上连续函数的最值1函数yf(x)在定义域I内的最大值与最小值是怎样定义的？提示：如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得xI，总有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域I上的最大值(或最小值)2如图是函数y
2、f(x)，xa，b的图象(1)你能找出它的极大值、极小值吗？提示：f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数yf(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数yf(x)的极大值(2)你能找出它的最大值、最小值吗？提示：f(a)是函数yf(x)在a，b上的最大值，f(x3)是函数yf(x)在a，b上的最小值(3)若将区间改为(a，b)，yf(x)在(a，b)上还有最值吗？提示：若区间改为(a，b)，则yf(x)有最小值f(x3)，无最大值 (4)由以上讨论，你能得出什么结论？提示：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点
3、处取得知识梳理闭区间上连续函数的最值一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数yf(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值知识点二求函数在闭区间上最值的步骤知识梳理一般地，求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值思考：1.函数的最大(小)值最多只能有一个，那么函数的最大(小)值点呢？提示：函数的最大(小)值最多只能有一个，而最大(小
4、)值点却可以有多个，如正弦函数的最值点与极值点相同，都有无穷多个2函数在给定区间上是否一定有最值或极值？提示：如果函数yf(x)的图象是区间a，b上一条连续不断的曲线，且在(a，b)上可导，则(1)f(x)在a，b上必有最值(2)若f(x)在区间(a，b)上为单调函数，则无极值；若f(x)在区间(a，b)上先增(减)后减(增)，则必存在一个极大(小)值3函数的极值与最值有何区别和联系？提示：函数最值与极值的区别与联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出
5、的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值 自我检测1设f(x)是a，b上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()Af(x)的极值点一定是最值点Bf(x)的最值点一定是极值点Cf(x)在此区间上可能没有极值点Df(x)在此区间上可能没有最值点解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确答案：C2函数f(x)x32x2在区间1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0，有最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值解
6、析：f(x)x24xx(x4)，令f(x)0，得x0或x4，f(0)0，f(4)，f(1)，f(5)，所以f(x)maxf(0)0，f(x)minf(4).答案：B3若关于x的不等式x24xm对任意x0,1恒成立，则m的取值范围是_解析：设yx24x，y2x4，令y0，得x2.所以yx24x在(，2)上是减函数，即在x0,1上也是减函数，所以ymin1243，所以m3，即m(，3答案：(，3授课提示：对应学生用书第17页探究一求已知函数的最值例1求下列函数的最值(1)f(x)exex，x0，a，a为正常数；(2)f(x)，x(0,1)，a0，b0.解析(1)f(x)(ex)ex.当x0，a时，
7、f(x)0恒成立，即f(x)在0，a上是减函数故当xa时，f(x)有最小值f(a)eaea；当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00.(2)f(x)，令f(x)0，即b2x2a2(1x)20，解得x或x(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x01f(x)0f(x)(ab)2从上表可知当x时，f(x)有最小值f(ab)2.在x(0,1)上，函数无最大值误区警示求函数在固定区间上最值的注意事项(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点处的函数值；(3)比较极值与端点处的函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论方法技巧用导数求函数f(x)最
8、值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f(x)；(2)求极值嫌疑点：即f(x)不存在的点和f(x)0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值跟踪探究1.函数f(x)x33x29x6在区间4,4上的最大值为()A11 B70 C14 D21解析：函数f(x)x33x29x6的导数为f(x)3x26x9，令f(x)0得x1或x3，由f
9、(4)70；f(1)11；f(3)21；f(4)14；所以函数yx33x29x6在区间4,4上的最大值为11.答案：A2函数yxln x的最小值为()Ae1 Be Ce2 D解析：因为yxln x，定义域是(0，)，所以y1ln x，令y0，解得：x，令y0，解得0x，所以函数在上递减，在上递增，故x时，函数取最小值是.答案：A探究二含参数的最值问题例2已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解析因为f(x)exax2bx1，所以g(x)f(x)ex2axb，又g(x)ex2a，因为
10、x0,1，1exe，所以：(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1b.(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x1时，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2ab.综上所述，当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为1b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为2a
11、2aln(2a)b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为e2ab.延伸探究1.若a1，b2，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解析：因为a1，b2，g(x)f(x)ex2x2，又g(x)ex2，令g(x)0，因为x0,1，解得xln 2，已知当xln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)ming(ln 2)22ln 2242ln 2.2当b0时，若函数g(x)在区间0,1上的最小值为0，求a的值解析：当b0时，因为f(x)exax21，所以g(x)f(x)ex2ax，又g(x)ex2a，因为x0,1，1exe，所以：(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0
12、,1上单调递增，g(x)ming(0)1，不符合题意(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x1时，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，解得a不符合题意，舍去(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2a0，解得a.方法技巧1.含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其
13、实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值2已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围跟踪探究3.设a1，函数f(x)x3ax2b(1x1)的最大值为1，最小值为，求常数a，b.解析：令f(x)3x23ax3x(xa)0，得x0或xa.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0，a)a(a,1)
14、1f(x)00f(x)1abbb1ab从表中可知，当x0时，yf(x)取得极大值b，xa时取得极小值b，而f(1)f(a)，f(0)f(1)，故需比较f(0)与f(1)及f(1)与f(a)的大小因为f(0)f(1)a10，所以yf(x)的最大值为f(0)b1.又f(1)f(a)(a1)2(a2)0，所以yf(x)的最小值为f(1)1ab，所以a，a.探究三与函数最值有关的综合问题例3已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围解析(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22ax
15、b，因为f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x1(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，)；单调递减区间为.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，因为f(2)2cf，所以f(2)2c为最大值要使f(x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)2c，解得c1或c2.故c的取值范围为(，1)(2，)延伸探究1.本例(2)中条件不变，问法改为求函数f(x)在区间1,2上的最值，结果如何？解析：f(x)(3x
16、2)(x1)，当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如表：x11(1,2)2f(x)00f(x)c单调递增c单调递减c单调递增2c由于2cccc，所以f(x)在区间1,2上的最大值为2c，最小值为c.2本例(2)中条件不变，问法“若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x1,2，不等式f(x)c2成立”，结果如何？解析：f(x)x3x22xc，x1,2，当x1时，f(1)c为极小值，又f(1)cc，所以f(1)c为最小值因为存在x1,2，不等式f(x)c2成立，所以只需c2f(1)c，解得cR.方法技巧分离参数求解不等式恒成立问题跟踪探究4.已知函数f(x)(x1)3m.(1)若f
17、(1)1，求函数f(x)的单调区间(2)若关于x的不等式f(x)x31在区间1,2上恒成立，求m的取值范围解析：(1)因为f(1)1，所以m1，则f(x)(x1)31x33x23x，而f(x)3x26x33(x1)20恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)(2)不等式f(x)x31在区间1,2上恒成立，即不等式3x23xm0在区间1,2上恒成立，即不等式m3x23x在区间1,2上恒成立，即m 不小于3x23x在区间1,2上的最大值因为x1,2时，3x23x320,6，所以m的取值范围是0，).授课提示：对应学生用书第18页课后小结(1)求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数
18、值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值(2)已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论(3)若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内(4)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值素养培优误把极值当最值致误易错案例：已知函数f(x)x3ax2bx5，在x2和x处取得极值(1)求函数f(x)的解析式(2)求函数f(x)在4,1上的最值易错分析：本题求函数最值，往往没有比较端点值和极值的大小而错误地认为极值就是最值而丢分考查直观想象、逻辑推理的核心素养自我纠正：(1)因为f(x)x3ax2bx5，所以f(x)3x22axb，因为在x2和x处取得极值，所以解得a2，b4.所以f(x)x32x24x5.(2)因为f(x)3x24x4，所以由f(x)0，解得x2或x，所以f(x)在4，2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增因为f(4)11，f(2)13，f，f(1)4.所以f(x)maxf(2)13，f(x)minf(4)11.