1、辽宁省大连市一三中学2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题（含解析）一、单选题1.用数字、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意知，个位数必为偶数，其它数位没有限制，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在、种任选一个数，有种选择，其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为.故选：B.【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.2.天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、
2、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查
3、组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.3.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(nN+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 ()A. 26B. 27C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】由于是将奇数换成，故都是奇数，分别验证时的情况，直接得出正确选项.【详解】第行和第行全是，已经出现了次，依题意，第行原来的数是，而为偶数，不合题意；第行原来的数是，即全为奇数，一共有个，全部转化为，这是第三次出现全为的情况.故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数的规律，考查列举法来解选择题的方法，属于
4、基础题.4.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为()A. 恰有1个是坏的B. 4个全是好的C. 恰有2个是好的D. 至多有2个是坏的【答案】C【解析】【分析】利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.【详解】对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有个坏的和个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题.5.预测人口的变化趋势有多种
5、方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数如果在某一时期有，那么在这期间人口数A. 呈下降趋势B. 呈上升趋势C. 摆动变化D. 不变【答案】A【解析】【分析】可以通过与之间的大小关系进行判断【详解】当时，所以，呈下降趋势【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断6.有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出【详解】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4
6、.P(Xk)(k1，2，3，4)所以，随机变量X的分布列为X1234P 随机变量X的数学期望E(X).【点睛】本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.设是等差数列，是其前项的和，且，则下列结论错误的是（ ）A. B. 与是的最大值C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据，可得，即可得出结论【详解】设等差数列的公差为，与是的最大值因此A，B，D正确对于C，可得，因此不正确故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.设等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 9B.
7、 15C. 18D. 36【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前n项和公式，可得，可得，又，可得解【详解】由题意为等差数列，故则故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算能力，属于基础题9.数列an中，已知对任意nN*，a1+a2+a3+an=3n1，则a12+a22+a32+an2等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由a1+a2+a3+an3n1，可求得an，从而可知，利用等比数列的求和公式即可求得答案【详解】a1+a2+a3+an3n1，a1+a2+a3+an+13n+11，得：an+13n+13n23n
8、，an23n1.当n1时，a13112，符合上式，an23n1，是以4为首项，9为公比的等比数列，a12+a22+a32+an2=故选B【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题10.下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，A选项错误；对于B选项，B选项错误；对于C选项，C选项错误；对于D选项，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，考查了计算能力，属于基础题11.已知函数，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析
9、】【分析】对函数求导，代入即得解.【详解】故选：C【点睛】本题考查了导数的求法，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.12.下列关于求导叙述正确的是（ ）A 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，则，A选项错误；对于B选项，则，B选项正确；对于C选项，则，C选项错误；对于D选项，则，D选项错误.故选：B.【点睛】本题考查导数的计算，熟练利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.二、填空题13.函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足：
10、 , 考查下列结论： ；为奇函数；数列为等差数列；数列为等比数列.以上结论正确的是_【答案】【解析】 因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，令x=y=1,得f(1)=0，故错误，令x=y=1,得f(1)=0；令y=1,有f(x)=f(x)+xf(1)，代入f(1)=0得f(x)=f(x)，故f(x)是(,+)上的奇函数故正确，若 (nN)，则.为常数.故数列为等差数列，故正确，f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x)，当x=y时,f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)，则，.则，若nN)，则为常数，则数列为等比数列，故正确，故答案为14.在
11、一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_种.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，故选派方法为：.故答案为【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)1
12、5.7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有_种【答案】1440【解析】【分析】因为要求不相邻，采用插空法来解，先排列另外四人，有种结果，再在排列好的四人的5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理相乘得到结果【详解】解：7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，采用插空法来解，先排列甲、乙、丙之外的4人，有种结果，再在排列好4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理知共有种结果，故答案为：1440【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空里，排列不相邻的元素属于基础题16.从1，
13、3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.三、解答题17.设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，.（1）求，的通
14、项公式（2）设，数列的前项和为，求；（3）设，其中,求【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，利用等比数列的通项公式可求得的值，利用等差数列的通项公式建立有关和的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；（2）由，利用裂项相消法可求得；（3）求得，可得，通过分组求和以及错位相减法即可得出结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，由，得，解得，则.由，得，解得，则；（2），；（3）由，其中可得，其中，设，则，两式相减得整理得，则，【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项的
15、求解，同时也考查了裂项求和法与错位相减法求和，考查计算能力，是一道难度较大的题目.18.已知等差数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：数列是等差数列.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用已知条件列出方程组求解数列的首项与公差，即可得到数列的通项公式；（2）求出等差数列的前项和，化简，然后利用定义可证明出数列是等差数列.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，；（2），从而（常数），所以数列是等差数列.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用定义证明等差数列，考查计算能力与推理能力，属于基础题.19.记分别为函数的
16、导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）对函数分别求导，通过且，列方程求解即可；（2）对函数分别求导，通过且，列方程，求出即可.【详解】解：（1）函数，则由且，得 ，此方程组无解， 因此，与不存在“”点 （2）函数， 则 设为与的“”点，由且，得，即，（*） 得，即，则当时，满足方程组（*），即为与“”点因此，的值为【点睛】本题考查对新概念的理解与应用，考查分析能力与计算能力，难度不大.20.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（I）求和的值.（II）求函数的解析
17、式.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可详解：（1）f（x）在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0故点（1，f（1）在切线6xy+7=0上，且切线斜率为6得f（1）=1且f（1）=6（2）f（x）过点P（0，2）d=2f（x）=x3+bx2+cx+df（x）=3x2+2bx+c由f（1）=6得32b+c=6又由f（1）=1，得1+bc+d=1联立方程得故f（x）=x33x23x+2点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力21.已知在的展开式中，第
18、6项的系数与第4项的系数之比是.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出的值，代入二项展开式的通项公式即可求解；（2）利用两边夹定理，设第项系数的绝对值最大，列出关于的不等式即可求解；（3）利用二项式定理求解即可.【详解】（1）由，得，通项，令，解得，展开式中的系数为.（2）设第项系数的绝对值最大，则，所以，系数绝对值最大的项为.（3）原式.【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解
19、；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.22.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响. （）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.【答案】（I）见解析；（II）.【解析】【分析】（I）确定所有可能的取值，由二项分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此得到分布列和数学期望；（II）将事件分成“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况，结合（I）中所求概率，根据独立事件概率公式计算可得结果.【详解】（I）所有可能的取值为；. 的分布列为数学期望.（II）由题意得：事件“甲比乙答对题目数恰好多”发生即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解、独立事件概率问题的求解；关键是能够明确随机变量服从于二项分布，进而利用二项分布概率公式求得每个取值所对应的概率，属于常考题型.