1、1双曲线及其标准方程 1.（2021 北京房山高二期末）已知双曲线22 2=1(0)与椭圆28+23=1 有相同的焦点，则=()A.6 B.23 C.2D.4 答案：2.（2021 北京海淀首都师大附中高二期中）若双曲线:29 216=1 的左、右焦点分别为1,2，点 在双曲线 上，且|1|=3，则|2|等于()A.11B.9C.5D.3 答案：3.（2021 山东德州高二期中）已知双曲线的实轴长为 2，焦点为(-4,0)，(4,0)则该双曲线的标准方程为()A.212 24=1 B.24 212=1 C.2 215=1 D.215 2=1 答案：4.已知点(1,0)，(1,0)为双曲线22
2、22=1(0,0)的左、右顶点，点 在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为()A.2 24=1 B.2 23=1 C.2 22=1 D.2 2=1 答案：5.在平面直角坐标系中，已知 的顶点为(5,0)、(5,0)，点 在双曲线216 29=1 的右支上，则sin sin sin=()A.23 B.23 C.45 D.45 答案：6.已知1,2 为双曲线:2 2=2 的左、右焦点，点 在双曲线上，|1|=2|2|，则cos12=()A.14 B.35 C.34 D.45 2答案：7.（2021 天津南开附中高二月考）已知方程2m2+23 m2=1 表示双曲线，且该双曲
3、线两焦点间的距离为 4，则 的取值范围是()A.(-1,3)B.(1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案：8.是双曲线29 216=1 的右支上一点，,分别是圆(+5)2+2=4 和(5)2+2=1 上的点，则|的最大值为()A.6B.7C.8D.9 答案：9.（2021 江苏淮安高中校协作体高二期中）已知点 为双曲线:236 264=1 上的动点，点(10,0)，点(10,0).若|=16，则|=.答案：28 或 4 素养提升练 10.（2021 辽宁锦州联合校高二期中）已知双曲线 的焦点为1(1,0)，2(1,0)过1 的直线与双曲线 的左支交于，两点，若|1|=2|1|，|=|2|，则
4、 的标准方程为()A.625 62=1 B.723 724=1 C.423 42=1 D.523 524=1 答案：解析：如图，设|1|=，则|1|=2，|=|2|=3，由双曲线的定义可得|2|1|=2=2，|2|=2+2=4，3在 12 和 12 中，由余弦定理得22+(2)2 2 2 212=(4)2,22+2 2 2 12=(3)2,又12 与12 互补，cos12+cos12=0，两式消去cos12，cos12，可得282+12=0，所以2=2=37，2=2 2=47，所以双曲线的标准方程为723 724=1.11.（2021 辽宁盘锦第二高级中学高二期中）已知 是双曲线2162 29
5、2=1(0)上的点，1、2 是其左、右焦点，且1 2=0，若 12 的面积为 9，则 等于()A.2B.1C.3D.4 答案：解析：由1 2=0 得1 2 ，由勾股定理得|1|2+|2|2=|12|2=(2162+92)2=1002，由双曲线的定义得|1|2|=8，642=|1|2+|2|2 2|1|2|=1002 2|1|2|，|1|2|=182，则 12 的面积为12|1|2|=92=9，0，=1.12.已知双曲线2 27=1，直线 过其左焦点1，交双曲线的左支于，两点，且|=4，2 为双曲线的右焦点，2 的周长为 20，则 的值为()A.8B.9C.16D.20 答案：解析：2 的周长=
6、|+|2|+|2|=20，|=4，|2|+|2|=16.根据双曲线的定义知，2=|2|1|=|2|1|，4=(|2|+|2|)(|1|+|1|)=16 4=12，4 =3，=2=9.13.已知、两地相距2000 m，在 地听到炮弹的爆炸声比在 地晚4 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹方程为 .答案：2462400 2537600=1(680)解析：建立平面直角坐标系，使、两点在 轴上，且坐标原点 与线段 的中点重合，如图，设爆炸点 的坐标为(,)，则|=340 4=13602000，即2=1360，=680，又|=2000，2=2000，=1000，即2=2 2=537600，炮
7、弹爆炸点的轨迹（双曲线的一支）方程为2462400 2537600=1(680).创新拓展练 14.已知椭圆212+212=1(110)与双曲线222 222=1(20,20)有公共焦点1、2，设 是它们的一个交点.（1）试用1,2 表示 12 的面积；（2）当1+2=(0)是常数时，求 12 面积的最大值.命题分析 本题考查了椭圆、双曲线的定义、三角形面积的计算、基本不等式的运用以及运算求解能力.答题要领（1）找出 12 的三边，利用余弦定理求角的余弦值，进而得正弦值，然后代入三角形面积公式求解.（2）根据（1）中的结论，利用基本不等式求解.详细解析（1）如图所示，设12=.因为|12|=2
8、，则12 12=22+22=2，即12 22=12+22.5由椭圆、双曲线的定义，得|1|+|2|=21，|1|2|=22（令|1|2|），所以|1|=1+2，|2|=1 2，所以cos=|1|2+|2|2422|1|2|=(1+2)2+(12)22(1212)2(22+22)2(1222)=12221222=122212+22,所以sin=21212+22.所以12=12|1|2|sin=12(12 22)21212+22=12.（2）当1+2=(0)为常数时，12=12 (1+22)2=m24 ，当且仅当1=2=2 时，取等号，所以 12 面积的最大值为m24 .解题感悟 双曲线的定义是解决与双曲线有关问题的主要依据，在应用时要注意整体代换思想的应用.
