1、 1 第 1 课时 椭圆的简单几何性质 基础过关练 题组一 椭圆的几何性质及其应用 1.(2020 天津一中高二上期末质量调查)已知椭圆 x2+my2=1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=()A.2 B.2 C.14 D.4 2.(2020 山东菏泽高二上期末)中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为()A.83 B.23 C.43 D.4 3.(202
2、0 河北唐山一中高二上期中)已知 F1,F2分别为椭圆216+29=1 的左,右焦点,A 为上顶点,则AF1F2的面积为()A.6 B.15 C.67 D.37 4.(2020 湖南长沙长郡中学高二上期中)椭圆236+2=1 的短轴长为 8,则实数 m=.题组二 求椭圆的离心率的值或取值范围 5.(2021 河北保定唐县一中高二上月考)已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为()A.13 B.33 C.22 D.12 6.已知椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点分别是 F1、F2,P 是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,
3、12)B.(13,12)C.13,1)D.12,1)7.比较椭圆x2+9y2=36 与29+25=1 的形状,(填序号)更扁.8.在平面直角坐标系 Oxy 中,若椭圆 E:22+22=1(ab0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点,则椭圆 E 的离心率是 .题组三 椭圆几何性质的综合运用 2 9.(2020 山东泰安高二上期末)已知椭圆 C:22+22=1(0)的左,右焦点分别为1,2,离心率为 33,过 F2的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若AF1B 的周长为 43,则 C 的方程为()A.23+22=1 B.23+2=1 C.212+28=1 D.212+24=1 10.
4、(2021 江西南昌二中高二上月考)椭圆24+y2=1 的两个焦点分别为 F1,F2,过 F1作垂直于 x 轴的直线,与椭圆的一个交点为 P,则|PF2|=()A.32 B.3 C.72 D.4 11.设 e 是椭圆24+2=1 的离心率,且 e(12,1),则实数 k 的取值范围是()A.(0,3)B.(3,163)C.(0,3)(163,+)D.(0,2)12.如图,椭圆22+22=1(0)的离心率=13,F,A 分别是椭圆的左焦点和右顶点,P 是椭圆上任意一点,若 的最大值是 12,求椭圆的方程.能力提升练 题组一 椭圆的几何性质及其应用 1.(2020 江西南昌二中高二上月考,)若直线
5、 x-2y+2=0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为(易错)A.25+2=1 B.24+25=1 C.25+2=1 或24+25=1 D.以上答案都不对 2.(多选)()若椭圆 C1:212+212=1(1 1 0)和椭圆2:222+222=1(a2b20)的离心率相同,且 a1a2,则下列结论正确的是()A.椭圆 C1和椭圆 C2一定没有公共点 B.12=12 C.12-2212-22D.a1-a2b0)的右焦点,点 P 在椭圆上,且 P 到原点 O 的距离等于半焦距,POF 的面积为 6,则 b=.5.(2020 湖南常德高二上期末,)已知椭圆24+23=1 的右焦点为
6、F,点 M 在O:x2+y2=3 上,且 M 在第一象限,过点 M 作O 的切线交椭圆于 P,Q 两点,则PFQ 的周长为 .深度解析 题组二 求椭圆的离心率的值或取值范围 6.(2020 辽宁省实验中学高二上期中,)美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体,原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中,发现“切面”是一个椭圆,若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面
7、圆柱体得到的截面图形是一个底角为 60 度的直角梯形,则该椭圆的离心率为()A.12 B.22 C.32 D.13 7.(2020 浙江温州高二上期末,)已知椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,且|PF1|=4|PF2|,则此椭圆的离心率 e 的最小值为()A.35 B.45 C.14 D.34 8.(2020 浙江宁波九校高二上期末,)设椭圆 E:22+22=1(ab0)的一个焦点为 F(2,0),点 A(-2,1)为椭圆 E内一点,若椭圆 E 上存在一点 P,使得|PA|+|PF|=8,则椭圆 E 的离心率的取值范围是(深度解析)A.49,47 B
8、.(49,47)C.29,27)D.29,27 9.(2021 浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知 F1,F2分别是椭圆22+22=1(0)的左,右焦点,是椭圆上一点(异于左、右顶点),若存在以 22 c 为半径的圆内切于PF1F2,则椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,13 B.(0,23 C.(13,23 D.23,1)10.()黄金分割比例215 具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价值。这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理性的比例。我们把离心率215e的椭圆称为“黄金椭圆”,则以下四种说法:4 椭圆22+25+1=1 是“黄金椭圆”;若椭圆22+22=
9、1(0)的右焦点为(,0),且满足2=,则该椭圆为“黄金椭圆”;设椭圆22+22=1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B,右顶点为 A,若ABF=90,则该椭圆为“黄金椭圆”;设椭圆22+22=1(ab0)的左,右顶点分别是 A,B,左,右焦点分别是 F1,F2,若|F1F2|2=|AF1|F1B|,则该椭圆为“黄金椭圆”.其中说法正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 11.()已知椭圆22+22=1(ab0)上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,点 F 为椭圆的右焦点,且满足 AFBF,设ABF=,且 12,6,求该椭圆的离心率 e 的取值范围.题组三 椭圆几何性质的综合运用
10、12.()已知 F1,F2分别是椭圆C:22+22=1(0)的左,右焦点,过1 的直线交椭圆于、两点,|1|=5|1|,|2|=2,且 DF2x 轴.若点 P 是圆 O:x2+y2=1 上的一个动点,则|PF1|PF2|的取值范围是()A.3,5 B.2,5 C.2,4 D.3,4 13.(多选)()如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在点 P 第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在点 P 第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行.若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的
11、焦距,用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,则下列式子正确的是()A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2 C.c1a2a1c2 D.11 22 14.(多选)(2021江苏泰州中学高二上检测,)已知椭圆24+23=1的左,右焦点分别为F,E,直线x=m(-1m 0)的离心率为 32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:|AN|BM|为定值.6 答案全解全析 基础过关练 1.D 因为椭圆 x2+my2=1 的焦
12、点在 x 轴上,所以长轴长 2a=2,短轴长 2b=2 1,所以 2 1=1,解得 m=4.故选 D.2.答案 C 信息提取 瓷盘的形状是椭圆;长轴长为 8,短轴长为 4.数学建模 以瓷盘为情境,构建椭圆模型,利用椭圆的性质解决求值问题.由条件求出 a、b 的值,利用 a、b、c的关系求解.解析 由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为22+22=1(0),易知长轴长 2=8,短轴长 2=4,所以=4,=2,所以=2-2=23,因此焦距 2=43.故选 C.3.D 由椭圆方程216+29=1 得(0,3),1(7,0),2(7,0),|12|=27.12=12|F1F2|yA|=12 27 3=37.故
13、选 D.4.答案 16 解析 因为椭圆236+2=1 的短轴长为 8,所以椭圆的焦点在轴上,所以=4,解得 m=16.5.B 椭圆的方程化为标准形式为22+23=1(0),2=2,2=3,2=2 2=6,2=13,又 0 1,=33.故选 B.6.C 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=43,|2|=23a.又|PF1|-|PF2|F1F2|,即23a2c,所以 e13,又 0 1,所以13ee2,所以更扁.8.答案 22 7 解析 依题意得 b=c,所以 b2=c2a2-c2=c2a2=2c222=12,又 e=0,所以=22.9.A 由A
14、F1B 的周长为 43及椭圆的定义可知 4=43,=3.e=33,c=1,b2=2,C 的方程为23+22=1.故选 A.10.C 依题意得 c=4-1=3,不妨令 F1(-3,0),则|1|=12.又|PF1|+|PF2|=4,所以|PF2|=4-|PF1|=72.故选 C.11.C 当 0k4 时,e=4-2(12,1),即12 4-2114-k4,解得 0k4 时,e=-4(12,1),即12-4 114-4 114 1 4104 163.综上,实数 k 的取值范围为(0,3)(163,+).12.解析 由题易知 A(a,0),F(-c,0).e=13,a=3c.设 P(x0,y0),则
15、-3cx03c.=(-c-x0,-y0),=(a-x0,-y0),=(-c-x0,-y0)(a-x0,-y0)=-ac+cx0-ax0+02+02=-ac+cx0-ax0+02+2 22 02=22 02-(a-c)x0+b2-ac=19 02-(a-c)x0+a2-c2-ac=19 02-2cx0+5c2=19(x0-9c)2-4c2.8 当 x0=-3c 时,有最大值,且最大值为 12c2.12c2=12,c2=1,a2=9,b2=a2-c2=8,椭圆的方程为29+28=1.能力提升练 1.C 直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0).当焦点在 x 轴上时,设椭圆的方程为212+212
16、=1(a1b10),由题意知,c1=2,b1=1,12=5,椭圆的标准方程为25+y2=1;当焦点在 y 轴上时,设椭圆的方程为222+222=1(a2b20),由题意知,b2=2,c2=1,22=5,椭圆的标准方程为25+24=1.故选 C.易错警示 当不能确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上时,要分两种情况讨论,解题时要防止遗漏导致解题错误,如本题有两种情况,得到两解.2.AB 依题意,e=11=22,即1-(11)2=1-(22)2,所以11=22,所以12=12,因此 B 正确;又1 2,所以椭圆1 和椭圆2 一定没有公共点,因此 A 正确;设11=22=m,其中 0m0,即有12-1222-
17、22,则12-2212-22,因此 C 错误;(a1-b1)-(a2-b2)=(1-m)(a1-a2)0,即有 a1-b1a2-b2,则 a1-a2b1-b2,因此 D 错误.故选 AB.3.答案(2,22)解析 设 M(2cos,sin),(0,2),则 S 四边形 AOBM=SOAM+SOBM=12 2 sin+12 2cos 1=sin+cos=2sin(+4),当=4 时,四边形的面积最大,此时点的坐标是(2,22).4.答案 23 解析 设 P(x,y),则22+22=1,2+2=2,由得 x2=c2-y2,代入式得 2-22+22=1y2=42|y|=2.SPOF=12|OF|y|
18、=12 2=12b2=6,b2=12,又 b0,b=23.5.答案 4 9 解析 由椭圆方程得 F(1,0).设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x10,x20,则|PF|2=(x1-1)2+12=12 21+1+3 34 12=14 12 21+4=14(x1-4)2,易知 x12,|PF|=2-12x1.同理,|QF|=2-12x2.又|PM|2=|OP|2-(3)2=12+12 3=14 12,|PM|=12x1.同理,|QM|=12x2.PFQ 的周长为 2-12 2+2 12 1+12 2+12x1=4.解题模板 椭圆上一点到焦点的距离为焦半径,与两条焦半径有关的问题通常用椭圆的
19、定义解题;与一条焦半径有关的问题常用焦半径长公式求解,点P(x1,y1)到左焦点F1(-c,0)的距离为|PF1|=a+ex1,点P(x1,y1)到右焦点F2(c,0)的距离为|PF2|=a-ex1.6.A 设圆柱的底面半径为 r,依题意知,最长母线与最短母线所确定的截面如图所示.AB=DE=2r.从而 CD=2sin60=433 r.因此在椭圆中长轴长 2a=433 r,短轴长 2b=2r,c2=a2-b2=43 2 2=13r2c=33 r.e=12,故选 A.7.A 依题意得|1|2|=4,又|PF1|a+c,|PF2|a-c,|1|2|+-,即+-4,10 化简得 5c3ae=35,故
20、的最小值为35.故选 A.8.A 如图所示,记椭圆的左焦点为 F1,连接 AF1,PF1,则 F1(-2,0),|AF1|=1.|PF1|PA|+|AF1|,2a=|PF1|+|PF|AF1|+|PA|+|PF|=1+8=9,即 a92.|PF1|PA|-|AF1|,2a=|PF|+|PF1|PF|+|PA|-|AF1|=8-1=7,即 a72.c=2,292e=272,即49e47,椭圆的离心率的取值范围是49,47.故选 A.解题模板 求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于 e 的不等式,从而求出 e 的范围.本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与
21、第三边的关系构造出关于 e 的不等式,最后解出 e 的范围.9.A 设点 P 的坐标为(xP,yP).由题意得12 (2+2)22 =122c|yP|,(a+c)c=2c|yP|2bc,a+c2b,(a+c)22b2,0a2-2ac-3c2,(a+c)(a-3c)0,a3c,0a2,c1c2,a1+c1a2+c2,故 A 不正确;|PF|=a1-c1,|PF|=a2-c2,a1-c1=a2-c2,故 B 正确;由 a1-c1=a2-c2得(a1+c2)2=(a2+c1)2,即12-12+2a1c2=22-22+2a2c1,亦即12+2a1c2=22+221,1 2,21 12,11 22,故
22、C 正确,D 不正确.故选 BC.14.AC 如图所示.对于 A 选项,当 m=0 时,直线为 x=0,代入椭圆方程得 y=3,所以 SFAB=23 1 12=3,故 A 正确;对于 B选项,当 m=0 时,AFE=3,当 m=1 时,AFE4,根据对称性,存在 m 使FAB 为直角三角形,故 B 错误;对于 C 选项,根据椭圆对称性可知,当 m=0 时,四边形 FBEA 的面积最大,故 C 正确;12 对于 D 选项,由椭圆的定义得FAB 的周长=|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-|AE|-|BE|,|AE|+|BE|AB|,|A
23、B|-|AE|-|BE|0,当且仅当 AB 过点 E 时取等号,4a+|AB|-|AE|-|BE|4a,即直线 x=m 过椭圆的右焦点 E 时,FAB 的周长最大,此时 m=1,又-1m1,所以不存在 m,使FAB 的周长最大,故 D 错误.故选 AC.15.解析(1)由题意得 =32,12 =1,2=2+2,解得=2,=1.所以椭圆的方程为24+y2=1.(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1),设 P(x0,y0),M(0,yM),N(xN,0),则02+402=4.当 x00 时,直线 PA 的方程为 y=00-2(x-2),令 x=0,得 yM=-200-2,从而|=|1|=|1+200-2|;直线 PB 的方程为 y=0-10 x+1,令 y=0,得 xN=-00-1,从而|=|2|=|2+00-1|.所以|AN|BM|=|2+00-1|1+200-2|=|02+402+400-40-80+400-0-20+2|=|400-40-80+800-0-20+2|=4.当 x0=0 时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.综上,|AN|BM|为定值.