1、高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！第 3 讲 直线、平面平行的判定与性质一、知识梳理1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)因为 la，a，l/，所以l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)因为 l，l，b，所以 lb2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)因为 a，
2、b，abP，a，b，所以 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线因为，a，b，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！平行所以 ab常用结论牢记线面平行、面面平行的七个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab.(3)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(5)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行(7)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平
3、面内的两条直线，那么这两个平面平行二、教材衍化1下列命题中正确的是()A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面B若直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b/，则 b解析：选 D.A 错误，a 可能在经过 b 的平面内；B 错误，a 与 内的直线平行或异面；C 错误，两个平面可能相交；D 正确，由 a，可得 a 平行于经过直线 a 的平面与 的交线 c，即 ac，又 ab，所以 bc，b，c，所以 b.2平面 平面 的一个充分条件是()A存在一条直线 a，a，aB存在一条
4、直线 a，a，aC存在两条平行直线 a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b解析：选 D.若 l，al，a，a，a，a，故排除 A.若 l，a，al，则 a，故排除 B.若 l，a，al，b，bl，则 a，b，故排除 C.3如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 AEC 的位置关系为_高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！解析：连接 BD，设 BDACO，连接 EO，在BDD1 中，E 为 DD1 的中点，O 为 BD 的中点，所以 EO 为BDD1 的中位线，则 BD1EO，而 BD1/平面
5、ACE，EO平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.答案：平行一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.()(6)若，直线 a，则 a.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏常见误区|(1)对空间平行关系的转化条件理解不够致误；(2)
6、对面面平行判定定理的条件“平面内两相交直线”认识不清致误；(3)对面面平行性质定理理解不深致误1若平面 平面，直线 a平面，点 B，则在平面 内且过 B 点的所有直线中()A不一定存在与 a 平行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与 a 平行的直线高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！D存在唯一的与 a 平行的直线解析：选 A.当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线故选 A.2下列条件中，能判断两个平面平行的是_一个平面内的一条直线平行于另一个平面；一个平面内的两条直线平行于另一个平面；一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；一个平面
7、内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行显然只有符合条件 答案：3如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为_解析：因为平面 ABFE平面 DCGH，又平面 EFGH平面 ABFEEF，平面 EFGH平面 DCGHHG，所以 EFHG.同理 EHFG，所以四边形 EFGH 是平行四边形 答案：平行四边形 线面平行的判定与性质(多维探究)角度一 直线与平面平行的判定如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点(
8、1)证明：AD1平面 BDC1；(2)证明：BD平面 AB1D1.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！【证明】(1)因为 D1，D 分别为 A1C1，AC 的中点，四边形 ACC1A1 为平行四边形，所以 C1D1 綊 DA，所以四边形 ADC1D1 为平行四边形，所以 AD1C1D，又 AD1/平面 BDC1，C1D平面 BDC1，所以 AD1平面 BDC1.(2)连接 D1D，因为 BB1平面 ACC1A1，BB1平面 BB1D1D，平面 ACC1A1平面 BB1D1DD1D，所以 BB1D1D，又因为 D1，D 分别为 A1C1，AC 的中点，所以 DD1 綊
9、AA1，所以 BB1AA1DD1，故四边形 BDD1B1 为平行四边形，所以 BDB1D1，又 BD/平面 AB1D1，B1D1平面 AB1D1，所以 BD平面 AB1D1.角度二 直线与平面平行的性质如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17，点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD，BC平面 GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！【解】(1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面
10、 PBC平面 GEFHGH，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC，同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC，BD 都在底面 ABCD 内，所以 PO底面 ABCD.又因为平面GEFH平面 ABCD，且 PO/平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK，所以 POGK，所以 GK底面 ABCD，从而 GKEF.所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB8，EB2 得 EBABKBDB14，从而 KB14DB12
11、OB，即 K 为 OB 的中点 再由 POGK 得 GK12PO，且 G 是 PB 的中点，所以 GH12BC4.由已知可得 OB4 2，PO PB2OB2 68326，所以 GK3.易得 EFBC8，故四边形 GEFH 的面积 SGHEF2GK482 318.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a/，b，aba)(3)利用面面平行的性质定理(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a/，a/，aa)1如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！
12、点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()解析：选 A.对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 ABCD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQCD，所以 ABMQ，又 AB/平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ.故选 A.2如图，四棱锥 P-ABCD 中 ADBC，ABBC12AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段OF 上一点(1)求证：AP平面 BEF；(2)求证：GH平面 PAD.证明：(1)连接 EC，因为 ADBC，BC12AD，所以
13、BC 綊 AE，所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点 又因为 F 是 PC 的中点，所以 FOAP，FO平面 BEF，AP/平面 BEF，所以 AP平面 BEF.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(2)连接 FH，OH，因为 F，H 分别是 PC，CD 的中点，所以 FHPD，所以 FH平面 PAD.又因为 O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，所以 OHAD，所以 OH平面 PAD.又 FHOHH，所以平面 OHF平面 PAD.又因为 GH平面 OHF，所以 GH平面 PAD.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱 AB
14、C-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.【证明】(1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，所以 GHB1C1，又 B1C1BC，所以 GHBC，所以 B，C，H，G 四点共面(2)在ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点，所以 EFBC，因为 EF/平面 BCHG，BC平面 BCHG，所以 EF平面 BCHG.又因为 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1EGB.因为 A1E/平面
15、BCHG，GB平面 BCHG，所以 A1E平面 BCHG.又因为 A1EEFE，所以平面 EFA1平面 BCHG.【迁移探究 1】(变条件)在本例条件下，若 D 为 BC1 的中点，求证：HD平面 A1B1BA.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！证明：如图所示，连接 HD，A1B，因为 D 为 BC1 的中点，H 为 A1C1 的中点，所以 HDA1B，又 HD/平面 A1B1BA，A1B平面 A1B1BA，所以 HD平面 A1B1BA.【迁移探究 2】(变条件)在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明：
16、如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M，因为四边形 A1ACC1 是平行四边形，所以 M 是 A1C 的中点，连接 MD，因为 D 为 BC 的中点，所以 A1BDM.因为 A1B平面 A1BD1，DM/平面 A1BD1，所以 DM平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1 綊 BD，所以四边形 BDC1D1 为平行四边形，所以 DC1BD1.又 DC1/平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1，所以 DC1平面 A1BD1，又因为 DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以平面 A1BD1平面 AC1D.证明面面平行
17、的常用方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明 1.如图，AB平面 平面，过 A，B 的直线 m，n 分别交，于 C，E 和 D，F，若 AC2，CE3，BF4，则 BD 的长为()A.65 B75C.85D95解析：选 C.由 AB，易证 ACCEBDDF.即ACAEBDBF，所以 BDACBFAE 245 85.2.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D
18、1 中，S 是 B1D1 的中点，E，F，G 分别是 BC，DC，SC 的中点，求证：(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明：(1)如图，连接 SB，因为 E，G 分别是 BC，SC 的中点，所以 EGSB.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！又因为 SB平面 BDD1B1，EG/平面 BDD1B1，所以直线 EG平面 BDD1B1.(2)连接 SD，因为 F，G 分别是 DC，SC 的中点，所以 FGSD.又因为 SD平面 BDD1B1，FG/平面 BDD1B1，所以 FG平面 BDD1B1，又 EG平面 EFG，FG平面 E
19、FG，EGFGG，所以平面 EFG平面 BDD1B1.平行关系中的探索性问题(师生共研)如图，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上的点(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1平面 AB1D1?(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求ADDC的值【解】(1)如图，取 D1 为线段 A1C1 的中点，此时A1D1D1C11，连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1 为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点 在A1BC1 中，点 O，D1 分别为 A1B，A1C1 的中点，所以 OD1BC1.高考资源网
20、（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！又因为 OD1平面 AB1D1，BC1/平面 AB1D1，所以 BC1平面 AB1D1.所以当A1D1D1C11 时，BC1平面 AB1D1.(2)由已知，平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BDC1BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1D1O.因此 BC1D1O，同理 AD1DC1.因为A1D1D1C1A1OOB，A1D1D1C1DCAD.又因为A1OOB 1，所以DCAD1，即ADDC1.解决探索性问题的方法(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假
21、设，若得到矛盾就否定假设(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”“只需使成立”(一题多解)如图，四棱锥 E-ABCD，平面 ABCD平面 ABE，四边形 ABCD为矩形，AD6，AB5，BE3，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE.(1)求证：AEBE；(2)设 M 在线段 DE 上，且满足 EM2MD，试在线段 AB 上确定一点 N，使得 MN平面 BCE，并求 MN 的长解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所以 BCAB.因为平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，且 BC平面 ABCD，所以BC平面 ABE.又 AE平面 ABE，所以
22、 BCAE.因为 BF平面 ACE，AE平面 ACE，所以 BFAE.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！又因为 BCBFB，BC平面 BCE，BF平面 BCE，所以 AE平面 BCE，因为 BE平面 BCE，所以 AEBE.(2)法一：如图，在ADE 中过 M 点作 MGAD 交 AE 于 G 点，在ABE 中过 G 点作GNBE 交 AB 于 N 点，连接 MN，因为 NGBE，NG/平面 BCE，BE平面 BCE，所以 NG平面 BCE.同理可证，GM平面 BCE.因为 MGGNG，所以平面 MGN平面 BCE，又因为 MN平面 MGN，所以 MN平面 BCE，
23、因为 N 点为线段 AB 上靠近 A 点的一个三等分点，AD6，AB5，BE3，所以 MG23AD4，NG13BE1，所以 MN MG2NG2 4212 17.法二：如图，过 M 点作 MGCD 交 CE 于 G 点，连接 BG，在 AB 上取 N 点，使得 BNMG，连接 MN，因为 MGCD，EM2MD，所以 MG23CD，因为 ABCD，BNMG，所以四边形 MGBN 是平行四边形，所以 MNBG，又因为 MN/平面 BCE，BG平面 BCE，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以 MN平面 BCE，又 MG23CD，MGBN，所以 BN23AB，所以 N 点
24、为线段 AB 上靠近 A 点的一个三等分点 在CBG 中，因为 BCAD6，CG13CE13 6232 5，cosBCG2 55，所以 BG236526 52 55 17，所以 MNBG 17.基础题组练1(2020河北衡水模拟一)已知 m，n 为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，m，nDmn，m，n解析：选 B.对于 A，两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，这两个平面可能平行，也可能相交，因此 A 中条件不是 的充分条件；对于 B，因为 mn，m，所以 n，结合 n，知，因此 B 中条件是 的充分条件；对于 C，由 m
25、n，m知 n，或 n，或 n 与 相交，结合 n，知，可能平行，也可能相交，所以 C 中条件不是 的充分条件；对于 D，由 mn，m知 n，或 n，结合 n，知，所以 D 中条件不是 的充分条件综上可知选 B.2(2020江西红色七校联考)设 m，n 是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若 mn，n，则 mB若 m，n，则 mnC若，m，则 mD若 m，n，m，n，则 高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！解析：选 C.若 mn，n，则 m 或 m，所以选项 A 不正确；若 m，n，则 mn 或 m 与 n 异面，所以选项 B 不正确；若
26、m，n，m，n，则 或 与 相交，所以选项 D 不正确故选 C.3(2020湖南长沙模拟)设 a，b，c 表示不同直线，表示不同平面，下列命题：若 ac，bc，则 ab；若 ab，b，则 a；若 a，b，则 ab；若 a，b，则 ab.其中真命题的个数是()A1B2C3D4解析：选 A.由题意，对于，根据线线平行的传递性可知是真命题；对于，根据 ab，b，可以推出 a 或 a，故是假命题；对于，根据 a，b，可以推出 a与 b 平行，相交或异面，故是假命题；对于，根据 a，b，可以推出ab 或 a 与 b 异面，故是假命题所以真命题的个数是 1.故选 A.4.如图所示，在空间四边形 ABCD
27、中，E，F 分别为边 AB，AD 上的点，且 AEEBAFFD14，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，则()ABD平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形BEF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形CHG平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形DEH平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形解析：选 B.由 AEEBAFFD14 知 EF 綊15BD，又 EF/平面 BCD，所以 EF平面 BCD.又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，所以 HG 綊12BD，所以 EFHG 且 EFHG.所以四边形 EFGH 是梯形5.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必
28、究！在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1 的中点，给出下列四个推断：FG平面 AA1D1D；EF平面 BC1D1；FG平面 BC1D1；平面 EFG平面 BC1D1.其中推断正确的序号是()A BC D解析：选 A.因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1 的中点，所以 FGBC1，因为 BC1AD1，所以 FGAD1，因为 FG平面 AA1D1D，AD1平面 AA1D1D，所以 FG平面 AA1D1D，故正确；因为 EFA1C1，A1C1 与平面 BC1D1 相交，所以 EF 与平面 BC
29、1D1 相交，故错误；因为 E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1 的中点，所以 FGBC1，因为 FG/平面 BC1D1，BC1平面 BC1D1，所以 FG平面 BC1D1，故正确；因为 EF 与平面 BC1D1 相交，所以平面 EFG 与平面 BC1D1 相交，故错误故选 A.6在四面体 A-BCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是_解析：如图，取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，则 EMMA12，ENBN12，所以 MNAB.因为 AB平面 ABD，MN/平面 ABD，AB平面 ABC，MN/平面 ABC，所以 MN平面 ABD，M
30、N平面 ABC.答案：平面 ABD 与平面 ABC高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！7如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上若EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_解析：因为 EF平面 AB1C，EF平面 ABCD，平面 ABCD平面 AB1CAC，所以 EFAC，所以点 F 为 DC 的中点 故 EF12AC 2.答案：28.如图所示，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是棱 CC1，C1D1，D1D，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及
31、其内部运动，则 M 只需满足条件_时，就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接 HN，FH，FN，则 FHDD1，HNBD，FHHNH，DD1BDD，所以平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，所以MN平面B1BDD1.答案：点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合)9.在如图所示的一块木料中，棱 BC 平行于平面 ABCD.(1)要经过平面 ABCD内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面 ABCD 是什么位置关系？并证明你的结论解：(1)过点 P 作 BC的平行线，交 AB
32、，CD于点 E，F，连接 BE，CF.作图如下：高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(2)EF平面 ABCD.理由如下：因为 BC平面 ABCD，又因为平面 BCCB平面 ABCDBC，所以 BCBC，因为 EFBC，所以 EFBC，又因为 EF/平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 EF平面 ABCD.10如图所示，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点求证：(1)BE平面 DMF；(2)平面 BDE平面 MNG.证明：(1)如图所示，设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE，则 AE 必过点 O，连
33、接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO.因为 BE/平面 DMF，MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN.因为 DE/平面 MNG，GN平面 MNG，所以 DE平面 MNG.因为 M 为 AB 的中点，所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN.因为 BD/平面 MNG，MN平面 MNG，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以 BD平面 MNG.因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE平面 MNG.综合题组练1如图，透明塑料
34、制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；棱 A1D1 始终与水面所在的平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF 是定值其中正确的个数是()A1B2C3D4解析：选 C.由题图，显然是正确的，是错的；对于因为 A1D1BC，BCFG，所以 A1D1FG 且 A1D1/平面 EFGH，所以 A1D1平面 EFGH(水面)所以是正确的；因为水是定量的(定体积 V)所以 SBEFBCV，即12BEBFBCV.所以 BEBF2VBC(定值
35、)，即是正确的，故选 C.2.(2020江西吉安一模)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是A1D1，A1B1 的中点，过直线 BD 的平面 平面 AMN，则平面 截该正方体所得截面的面积为()高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！A.2B98C.3D 62解析：选 B.如图 1，取 B1C1 的中点 E，C1D1 的中点 F，连接 EF，BE，DF，B1D1，则EFB1D1，B1D1BD，所以 EFBD，故 EF，BD 在同一平面内，连接 ME，因为 M，E分别为 A1D1，B1C1 的中点，所以 MEAB，且 MEAB，所以四边
36、形 ABEM 是平行四边形，所以 AMBE，又因为 BE平面 BDFE，AM/平面 BDFE，所以 AM平面 BDFE，同理 AN平面 BDFE，因为 AMANA，所以平面 AMN平面 BDFE，BD 2，EF12B1D1 22，DFBE 52，等腰梯形 BDFE 如图 2，过 E，F 作 BD 的垂线，垂足分别为 G，H，则四边形 EFGH 为矩形，所以 FG DF2DG254183 24，故所得截面的面积为1222 2 3 24 98，故选 B.3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N，Q 分别是棱 D1C1，A1D1，BC 的中点，点 P在 BD1 上且 BP23BD1.则以下
37、四个说法：MN平面 APC；C1Q平面 APC；A，P，M 三点共线；平面 MNQ平面 APC.其中说法正确的是_(填序号)解析：高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！连接 MN，AC，则 MNAC，连接 AM，CN，易得 AM，CN 交于点 P，即 MN平面 APC，所以 MN平面 APC 是错误的；由知 M，N 在平面 APC 上，由题易知 ANC1Q，AN平面 APC，所以 C1Q平面 APC 是正确的；由知 A，P，M 三点共线是正确的；由知 MN平面 APC，又 MN平面 MNQ，所以平面 MNQ平面 APC 是错误的 答案：4.如图所示，正方体 ABCD-A
38、1B1C1D1 的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点，且 APa3，过B1，D1，P 的平面交底面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ_解析：因为平面 A1B1C1D1平面 ABCD，而平面 B1D1P平面 ABCDPQ，平面 B1D1P平面 A1B1C1D1B1D1，所以 B1D1PQ.又因为 B1D1BD，所以 BDPQ，设 PQABM，因为 ABCD，所以APMDPQ.所以PQPMPDAP2，即 PQ2PM.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！又知APMADB，所以PMBDAPAD13，所以 PM13BD，又 BD 2a，所以 PQ2 23
39、a.答案：2 23 a5.如图，在四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 中，BCAD，且 AD2BC，O，E 分别为 AD，PD 的中点(1)设平面 PAB平面 PCDl，请作图确定 l 的位置并说明你的理由；(2)若 Q 为直线 CE 上任意一点，证明：OQ平面 PAB.解：(1)分别延长 AB 和 DC 交于点 R，连接 PR，则直线 PR 就是 l 的位置；RAB平面 PAB，RCD平面 PCD，所以 P、R 是平面 PAB 和平面 PCD 的两个公共点，由公理 1 可知，过 P、R 的直线就是两个平面的交线 l.(2)证明：连接 OE、OC，因为 BCAD，且 BC12AD，又 AO
40、12AD，所以 BCAO，且 BCAO，所以四边形 ABCO 为平行四边形，所以 OCAB，则 OC平面 PAB；又 OE 为PAD 的中位线，则 OEAP，所以 OE平面 PAB，又 OE平面 OEC，OC平面 OEC，且 OEOCO，所以平面 PAB平面 OEC，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！又 OQ平面 OEC，所以 OQ平面 PAB.6如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)若平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，证明 B1D1l.证明：(1)由题设知 BB1 綊 DD1，所
41、以四边形 BB1D1D 是平行四边形，所以 BDB1D1.又 BD/平面 CD1B1，B1D1平面 CD1B1，所以 BD平面 CD1B1.因为 A1D1 綊 B1C1 綊 BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四边形，所以 A1BD1C.又 A1B/平面 CD1B1，D1C平面 CD1B1，所以 A1B平面 CD1B1.又因为 BDA1BB，所以平面 A1BD平面 CD1B1.(2)由(1)知平面 A1BD平面 CD1B1，又平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，平面 ABCD平面 A1BD直线 BD，所以直线 l直线 BD，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 BDD1B1 为平行四边形，所以 B1D1BD，所以 B1D1l.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！