1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。关键能力素养形成类型一直线与直线所成的角【典例】1.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为_.2.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.世纪【思维引】1.利用线线角的定义,平移直线找到两条相交直线所成的角,再求出正切值即可.2.选择恰当的点分别作AB和CD的平行线,同时找到直线AB与CD所成的角、直线AB和MN所成的角.【解析】1.如图,B1D与CC1
2、所成的角为BB1D.因为DBB1为直角三角形,所以tanBB1D=.答案:2.如图,取AC的中点P,连接PM,PN,因为点M,N分别是BC,AD的中点,所以PMAB,且PM=AB;PNCD,且PN=CD,所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.所以PMN(或其补角)为AB与MN所成的角.因为直线AB与CD成60角,所以MPN=60或MPN=120.又因为AB=CD,所以PM=PN,若MPN=60,则PMN是等边三角形,所以PMN=60,即AB与MN所成的角为60.若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形.所以PMN=30,即AB与MN所成的角为30.综上可知:AB与MN所成角为60或30
3、.【内化悟】1.两条直线所成角的依据是什么?提示:两条直线所成角的依据是等角定理以及两直线所成角的定义.2.空间中直线与直线垂直有哪两种情况?证明方法有何不同?提示:(1)相交垂直.利用等腰三角形三线合一的性质、菱形对角线垂直、勾股定理逆定理等方法证明.(2)异面垂直.通常转化为证明线面垂直.【类题通】1.求两异面直线所成的角的一般步骤:(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角.(2)证:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角的值,常利用解直角三角形.可用“一作二证三计算”来概括. 2.需要关注的问题因为异面直线所成角的范围是090,所以平移直线得出的角有可能是两条异面直线
4、所成角的补角,要注意识别这种情况. 【习练破】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,则异面直线EF与B1D1所成的角为_.【解析】连接BC1,AD1,AB1,可知EF为BCC1的中位线,所以EFBC1.又因为ABCDC1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形.所以BC1AD1.所以EFAD1.所以AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角.在AB1D1中,易知AB1=B1D1=AD1,所以AB1D1为正三角形,所以AD1B1=60.所以EF与B1D1所成的角为60.答案:60类型二直线与平面垂直的判定与性质角度1直线与平面垂直的判定【典例】1
5、.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC2.(2018全国卷改编)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.证明:PO平面ABC.世纪【思维引】1.利用线面垂直的判定定理,由线线垂直,证明线面垂直.2.OPAC是比较明显的,所以关键是证明OPOB,可考虑用勾股定理的逆定理.【解析】1.选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2.连接OB.因为AB=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,
6、OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC,OBAC=O,知PO平面ABC.【素养探】在与线面垂直判定定理的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究线线垂直、线面垂直的判定,体会线线垂直和线面垂直的相互转化.将本例2三棱锥满足的条件改为PABC,PCAB,求证:PBAC.【证明】过P作PO平面ABC于O,连接OA,OB,OC.因为PO平面ABC,BC平面ABC,所以POBC.又因为PABC,PAPO=P,所以BC平面PAO.又因为OA平面PAO,所以BCOA.同理,可证ABOC.所以O是ABC的垂心.所以OBAC.又因为POAC,POOB=O,所
7、以AC平面PBO.又PB平面PBO,所以PBAC.角度2直线与平面垂直的性质【典例】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.世纪【思维引】证明EF与BD1都与平面AB1C垂直. 【证明】连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD,所以DD1AC.又因为ACBD,BDDD1=D,所以AC平面BDD1B1,所以ACBD1.同理BD1B1C,又ACB1C=C,所以BD1平面AB1C.因为EFA1D,且A1DB1C,所以EFB1C.又因为EFAC,ACB1C=C,所以EF平面AB1C,所以EFBD
8、1.【类题通】1.线面垂直的判定方法(1)证明线面垂直的方法线面垂直的定义.线面垂直的判定定理.如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;确定这个平面内的两条直线是相交的直线;根据判定定理得出结论.2.利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.【发散拓】1.空间几何体中,确定线面角的关键是什么?提示:在空间几何体中确定线面角时,过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位置是关键,垂足确
9、定,则射影确定,线面角确定.2.求斜线与平面所成角的步骤(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【延伸练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值.(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.【解析】(1)因为直线A1A平面ABCD,所以A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,设A1A=1,则AC=,所以ta
10、nA1CA=.(2)在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1,因为BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,所以BB1A1C1,又BB1B1D1=B1,所以A1C1平面BDD1B1,垂足为O.所以A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在RtA1BO中,A1O=A1C1=A1B,所以A1BO=30,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30.【习练破】1.如图,BC是RtABC的斜边,PA平面ABC,PDBC,则图中直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5【解析】选A.易知PAAC,PAAD,PAAB,BCAD,BCPD,ACAB.图中的直角三角形分别为PAC,
11、PAD,PAB,ADC,ADB,PCD,PDB,ABC,共8个.2.如图,在三棱锥S-ABC中,ABC=90,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD平面ABC.(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.【证明】(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SDAC.在RtABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以ADSBDS,所以SDBD.又ACBD=D,AC,BD平面ABC,所以SD平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知SDBD.又因为SDAC=D,SD,AC平面SAC,所以BD平面SAC.【加练固】如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面
12、,M是圆周上任意一点,ANPM,垂足为N.求证:AN平面PBM.【证明】设O所在的平面为,因为PA,且BM,所以PABM.又因为AB为O的直径,点M为圆周上一点,所以AMBM.由于直线PAAM=A,所以BM平面PAM,而AN平面PAM,所以BMAN.所以AN与平面PBM内的两条相交直线PM,BM都垂直.所以AN平面PBM.类型三直线与平面垂直的判定与性质的综合应用【典例】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,AA1=,D,F分别是A1B1,BB1的中点.(1)求证:C1DAB1.(2)求证:AB1平面C1DF.世纪【思维引】(1)要证C1DAB1,需证C1D平面A
13、A1B1B,需证C1DA1B1,C1DAA1,由已知可证.(2)要证AB1平面C1DF,需证AB1DF,需证A1BAB1,需证四边形AA1B1B为正方形,由已知可证.【证明】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90.又 D是A1B1的中点,所以C1DA1B1,因为AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D,又因为AA1A1B1=A1,所以C1D平面AA1B1B,又因为AB1平面AA1B1B,所以C1DAB1. (2)连接A1B,因为D,F分别是A1B1,BB1的中点,所以DFA1B.又直角三角形A1B1C1中,A1=A1+
14、B1,所以A1B1=,所以A1B1=AA1,即四边形AA1B1B为正方形,所以AB1A1B,即AB1DF,又(1)已证C1DAB1,又DFC1D=D,所以AB1平面C1DF.【素养探】在与线面垂直判定和性质综合应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,常见的推理形式有:(1)l,mlm.(2)la,lb,ab=A,a,bl.(3)l,lmm.(4)l,mlm等.【类题通】线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条
15、相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.【习练破】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC.求证:MNAD1.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1,所以CDAD1.因为A1DCD=D,所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.【加练固】如图,已知平面平面=l,EA,垂足为A,EB,垂足为B,直线a,aAB.求证:al.【证明】因为EA,=l,即l,所以lEA.同理lEB.又EAEB=E,所以l平面EAB.因为EB,a,所以EBa,又aAB,EBAB=B,所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理,得al.关闭Word文档返回原板块