1、第7课时对数(2) 教学过程一、 问题情境指数幂运算有下列性质:aman=am+n;=am-n;(am)n=amn.问题1对数运算也有相应的性质吗?二、 数学建构由学生给出若干组a, M, N, n的值,借助计算机计算logaM, logaN, loga(MN), loga, logaMn, loga(M+N), loga(M-N)的值,猜想这一系列式子之间的关系.猜想:loga(MN)=logaM+logaN;loga=logaM-logaN;logaMn=nlogaM.(其中a0, a1, M0, N0, nR)问题2如何证明对数的运算性质?我们来证明性质:证明设logaM=p, loga
2、N=q.由对数的定义得M=ap, N=aq,所以MN=apaq=ap+q.故loga(MN)=p+q=logaM+logaN,即loga(MN)=logaM+logaN.同样地,可以证明性质和性质.问题3如何用自然语言叙述这三条性质?性质的证明思路是什么?(运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂运算性质进行恒等变形,然后再根据对数的定义将指数式化成对数式)注意点:(1) 对数不能作除法运算.(2) logaM, logaN与loga(M+N), loga(M-N)没有必然的联系.三、 数学运用【例1】(根据教材P76例5改编)已知lg2=a, lg3=b,用a, b表示下列各对
3、数:(1) lg12;(2) lg108;(3) lg;(4) lg.(见学生用书课堂本P45)规范板书解(1)lg12=2lg2+lg3=2a+b.(2)lg108=lg(427)=2lg2+3lg3=2a+3b.(3)lg=lg27-lg16=3lg3-4lg2=3b-4a.(4)lg=lg18-lg25=lg2+2lg3-2lg5=lg2+2lg3-2(1-lg2)=2b+3a-2.【例2】(教材P76例4)求下列各式的值:(1) log2(2345);(2) log5125.(见学生用书课堂本P46)处理建议有关对数的运算,一般有两种思路:一是将相关数分解成质因数式,利用对数运算法则,
4、把它们拆成若干个对数的代数和;二是对底数相同的对数,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算.规范板书解(1)log2(2345)=log223+log245=3+5log24=3+52=13.(2)log5125=log553=3log55=3.变式计算下列各式的值:(1) lg+lg;(2) log345-log35;(3) lg25+lg2lg5+lg2;(4) log535-2log5+log57-log51.8;(5) lg-lg+lg;(6) lg52+lg8+lg5lg20+(lg2)2.规范板书解(1)lg+lg=lg()=lg=lg10=.(2)log345-log35=l
5、og3=log39=2log33=1.(3)lg25+lg2lg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=lg10=1.(4)log535-2log5+log57-log51.8=log55+log57-2(log57-log53)+log57-(log59-log55)=1+2log53-2log53+1=2.(5)lg-lg+lg=(lg32-lg49)-lg+lg(549)=(5lg2-2lg7)-2lg2+lg5+lg7=lg2-lg7-2lg2+lg5+lg7=(lg2+lg5)=.(6)lg52+lg8+lg5lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(
6、lg2+1)+(lg2)2=2+lg5lg2+lg5+(lg2)2=2+lg2(lg5+lg2)+lg5=3.题后反思 本题有两种思路:一是“正向”利用积、商、幂、方根的对数运算法则,把各对数分拆为更为基本的一系列对数的代数和;二是运用对数恒等式使式子得到化简,对真数部分进行约简,使所给对数式得到化简.简单地说,一是“分”,二是“合”. 对常用对数的化简要充分利用恒等式lg2+lg5=1来解题. 对于多重符号的对数的化简,应从内向外逐层化简求值.*【例3】已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值.规范板书解由已知可得lg(xy)=lg(x-2y)2,所以(x-2y)2=xy,即x2-5x
7、y+4y2=0,即(x-y)(x-4y)=0,所以x=y或x=4y.又因为x0, y0, x-2y0,所以xy0,所以x=4y,所以lo=lo4=4.题后反思注意根据已知条件求出来的相关结果必须满足题设中所有真数大于零这一条件.四、 课堂练习1. (1) lg=lgx+lgy-3lgz;(用lgx, lgy, lgz表示)(2) 已知m=log32,那么log34-5log36=-3m-5.(用m表示)2. 求下列各式的值:(1) log2(4816);(2) (95272);(3) 2lg5+lg40;(4) 125-25;(5) .解(1) 原式=9;(2) 原式=-2log3316=-32;(3) 原式=lg1000=3;(4) 原式=5=-1;(5) 原式=.五、 课堂小结运用对数的运算法则时,必须注意其成立的条件,否则可能导致变量范围的变化而出现不等价变换.