1、江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.直线和直线垂直，则实数的值为（ ）A. -2B. 0C. 2D. -2或0【答案】D【解析】【分析】由两直线垂直，得到系数之间的关系，进而可求出结果.【详解】因为直线和直线垂直，所以，即，解得或故选D【点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数的值，结合两直线垂直的充要条件，即可求解，属于基础题型.2.方程不能表示圆，则实数的值为A. 0B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到的值，从而可得到不能表示圆时a的值.【详解】方程能表示圆，则，解得，即
2、.所以，若方程不能表示圆，则.故选A.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.3.直线（为参数，是直线的倾斜角）上有两点，它们所对应的参数值分别是，则等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，得、，则；故选D.4.若，满足，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】将圆的普通方程化为参数方程，结合两角和的正弦公式求出最值即可.【详解】解：由圆的参数方程为（为参数），得，故的最大值为2.故选：B【点睛】本题考查圆的方程的参数方程与普通方程互化，考查两角和的正弦公式逆用求最值，属于基础题.5.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重
3、合，则该双曲线的渐近线是( )A. B. C. D. .【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由双曲线的几何性质求解渐近线方程即可【详解】抛物线的焦点（2，0），则a2+34,a21，a1，双曲线方程为： 渐近线方程为：故选：D【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题6.抛物线的准线方程是，则的值为（ ）A. B. C. 8D. -8【答案】B【解析】【详解】方程表示的是抛物线,，抛物线的准线方程是，解得，故选B.7.设点，分别是椭圆的左、右焦点，弦AB过点，若的周长为8，则椭圆C的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知求得b，可得椭
4、圆长半轴长，再由隐含条件求得c，则椭圆离心率可求【详解】由已知可得，椭圆的长轴长为，弦AB过点，的周长为，解得：，则，则椭圆的离心率为故选：D【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及简单性质，是基础的计算题8.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是A. B. 或C. D. 【答案】B【解析】【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b，则b的范围可得【详解】曲线有即 x2+y2=1 （x0），表示一个半圆（单位圆
5、位于x轴及x轴右侧的部分）如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，1），当直线y=x+b经过点A时，1=0+b，求得 b=1；当直线y=x+b经过点B、点C时，0=1+b，求得b=1；当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=，求得b=，或 b=（舍去），故要求的实数b的范围为1b1或b=，故答案为：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.9.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. 4B. C. D. 【答案】B【解析】为等边三角形，不妨设为
6、双曲线上一点，为双曲线上一点,由在中运用余弦定理得：,故答案选点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。10.如图所示,点是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出抛物线准线方程,设出两点的坐标,根据抛物线的定义求出,将抛物线方程与圆的方程联立,再根据圆的方程,这样可以求出点横坐标的取值范围,再求出的周长的表达式,利用点横坐标的取值范围,可以求出的周长的取值范围.【详解】由题意知抛物线的准线为,设两点的坐标分别为,，则.由 消去整理得,解得,在图中圆
7、的实线部分上运动,.的周长为.故选：A【点睛】本题考查了抛物线的定义的理解,考查了圆与抛物线的位置关系,考查了圆的几何性质,考查了数学运算能力.11.椭圆左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，则四边形的周长为（ ）A. 6B. C. 12D. 【答案】C【解析】过 的直线与椭圆交于两点，点关于 轴的对称点为点 ，四边形 的周长为 ，椭圆 ，四边形 的周长为12故选C【点睛】本题考查椭圆的定义，考查四边形的周长，正确运用椭圆的定义是解题的关键12.如图，两个椭圆的方程分别为和（，），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（ ）A. B.
8、 C. D. 【答案】A【解析】由题意知，外层椭圆方程为 ，设切线的方程为代入内层椭圆消去得: 由化简得同理得所以选A.点睛:求椭圆的离心率一般只需要找到关于 的方程，方程 中的斜率都可以用来表示，从而找到了关于的方程.二、填空题（本大题共4小题，共16分）13.已知圆方程为：,则斜率为1且与圆相切直线的方程为_【答案】,【解析】【分析】设出斜率为1且与圆相切直线的斜截式方程,圆心到该直线的距离等于圆的半径,得到方程,解方程求出直线的在纵轴上截距,把直线的斜截式方程化为一般式方程即可.【详解】斜率为1且与圆相切直线的方程为,圆的圆心坐标为,半径为,由题意可知：或,因此斜率为1且与圆相切直线的方
9、程为,.故答案为：,【点睛】本题考查了求圆的切线方程,利用圆的切线性质是解题的关键.14.若曲线为参数),与直线有两个公共点则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用代入消元法,把曲线方程化为普通方程,并求出纵坐标的取值范围,利用数形结合求出实数的取值范围.【详解】,而,如下图所示：所以直线有两个公共点时, .故答案为：【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程,考查了正弦函数的值域,考查了数形结合思想.15.设圆的圆心为,是圆内一定点,为圆周上任一点,线段的垂直平分线与的连线交于点,则的轨迹方程为_【答案】【解析】【分析】根据垂直平分线的性质,结合椭圆的定义,可以判断的轨迹方程是椭圆,再
10、根据之间的关系求出,最后写出椭圆方程.【详解】因为线段的垂直平分线与的连线交于点,所以,而,因此,而,所以的轨迹是以为焦点的椭圆, ,因此的轨迹方程为.故答案为：【点睛】本题考查了应用椭圆定义求椭圆标准方程,考查了线段垂直平分线的性质.16.已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为_【答案】2【解析】【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于，可得，解得，即有c=1，由题意可得，解得p=2，即有抛物线方程为y2=4x，如图,过点M作MAl1于点A，作MB准线l2:x=1于点C，连接
11、MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，设M到l1的距离为d1,M到直线l2的距离为d2，d1+d2=MA+MC=MA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A. F三点共线时，MA+MF有最小值。F(1,0)到直线l1:4x3y+6=0的距离为.MA+MF的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2.故答案为2.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在平面直角坐标系中,求过圆,（为参数）的圆心,且与直线（为参数）平行的直线的方程.【答案】【解析】【分析】根据圆的参数方程求出圆的圆心,利用加减消元法把直线的参数方程化成一般方程,求出它的斜率,利用两直线平行时,斜率的关系求出所求直线的
12、斜率,写出所求直线的点斜式方程,最后化成一般方程即可.【详解】圆的圆心坐标为：,直线的普通方程为：,所以与直线平行的直线的斜率为,所以所求直线的方程为：.【点睛】本题考查了通过圆的参数方程求圆心坐标,考查了已知两直线平行时,斜率之间的关系,考查了直线参数方程化普通方程.18.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为为参数求曲线，的普通方程；求曲线上一点P到曲线距离的取值范围【答案】(1) ；.（2）.【解析】【分析】（1）利用平方和代入法，消去参数，即可得到曲线的普通方程；（2）由曲线的方程，设，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解【详解】（1）由题意，为参数）
13、，则，平方相加，即可得：，由为参数），消去参数，得：，即.（2）设，到的距离 ，当时，即，当时，即，.取值范围为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，其中解答中合理利用平方和代入，正确化简消去参数得到普通方程，再利用椭圆的参数方程，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力19.设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为2，求此双曲线的标准方程【答案】【解析】【分析】设双曲线的标准方程为，再根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为
14、，由题意知c216124，即c2.又点A的纵坐标为2，则横坐标为3，于是有，所以双曲线的标准方程为.【点睛】（1）本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的简单几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.20.已知点，圆的方程为，点为圆上的动点，过点的直线被圆截得的弦长为(1)求直线的方程；(2)求面积的最大值【答案】（1）（2）7【解析】【分析】(1)先讨论直线的斜率是否存在，利用(为圆的半径，为圆心到直线的距离)列方程解得直线的斜率，再由点斜式写出直线方程；(2)因为为定值，只需求出点到直线的最大值即
15、可，问题得解。【详解】解：(1)当直线的斜率不存在时，的方程为，易知此直线满足题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，圆的圆心，半径，因为过点的直线被圆截得的弦长为，所以（其中为圆心到直线的距离）所以圆心到直线的距离为，解得，所以所求的直线方程为；综上所述，所求的直线方程为或(2)由题意得，点到直线的距离的最大值为7，的面积的最大值为7【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查分类思想及计算能力、转化能力，还考查了圆的弦长计算公式，属中档题21.如图所示,已知点是抛物线上一定点,直线的倾斜角互补,且与抛物线另交于，两个不同的点(1)求点到其准线的距离；(2)求证：直线的斜率为定值【答案】(1
16、)5；(2)【解析】【分析】（1）把点M的坐标代入抛物线的方程，求出点M的坐标，然后根据抛物线的定义求出点到其准线的距离；（2）设出直线MA的方程，与抛物线方程联立，得出A 的纵坐标，同理得出B的纵坐标，由已知条件结合点差法推导出AB的斜率表达式，把A，B的坐标代入，由此能证明直线AB的斜率为定值【详解】（1）M（a，4）是抛物线y24x上一定点，424a，a4，抛物线y24x的准线方程为x1，故点M到其准线的距离为5；（2）由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为：y4k（x4）；联立，设， ，即，直线的斜率互为相反数，直线MB的方程为：，同理可得：，由A，B两点都在抛物线
17、y24x上， ，直线AB的斜率为定值.【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了一元二次方程根与系数关系，考查直线的斜率为定值的证明，属于中档题22.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（）,且点F（，0）为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线与椭圆C交于B,D两点,满足,且原点到直线l的距离为？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.【答案】(1)；(2)不存在符合条件的直线.【解析】【分析】(1)求出左焦点的坐标,求出到左焦点距离,再求出到右焦点的距离,最后利用椭圆的定义求出椭圆方程；(2)假设存在这样的直线,设出直线的方程, 原点到直线l的距
18、离为,可得到等式,该直线方程与椭圆方程联立,根据根的判别式,可以计算出直线l的斜率的取值范围,把向量式子用数量积的坐标表示公式化简,结合根与系数关系可求出该直线的斜率,检验该值在不在斜率的取值范围中,最后再考虑直线不存在斜率的情况,这样就可以得出正确结论.【详解】(1)设椭圆C的方程为，则左焦点为，在直角三角形中，可求，故椭圆C的方程为(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为，由原点到l的距离为得：联立方程，得则，设，则，解得 当斜率不存在时l的方程为，易求得.综上，不存在符合条件的直线.【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了平面向量数量积的运算坐标表示,考查了数学运算能力.
