1、高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.在区间内随机取一个实数，则满足的概率为（ ）A.B.C.D.3.若满足约束条件，则的最大值为（ ）A.4B.8C.2D.64.已知等比数列满足，则（ ）A.7B.14C.21D.265.已知函数，则等于（ ）A.8 B.10C.6D.6.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）A.B.C.D.7.函数的部分图象如图所示，则向量与的数量积为（
2、）A.B.5C.2D.68.命题：复数对应的点在第二象限；命题：，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）A.B.C.D.9.我国有一道古典数学名著两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的（ ）A.3B.4C.5D.610.已知函数，则下列结论不正确的是（ ）A.最大值为2 B.把函数的图象向右平移个单位长度就得到的图像C.最小正周期为D.单调
3、递增区间是，11.已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则有下面四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中所有正确的命题是（ ）A.B.C.D.12.已知定义在上的奇函数满足，当时，则函数在区间上所有零点之和为（ ）A.2 B.4C.6 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，若，则实数_.14.在中，角的对边分别是，若，且，则_.15.若直线过圆的圆心，则的最小值为_.16.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值是_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1
4、721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）已知公差为的等差数列中，且成等比数列，记，求数列的前项和.18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中
5、恰有1人测评等级为合格的概率；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.01 2.7063.8416.63519.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为中点，且，.（1）平面；（2）若为线段上一点，且平面，求的值；（3）求四棱锥的大小.20.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数使，若存在求出实数的值；若不存在需说明理由.21.已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.（1
6、）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设和交点为，求的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）若，解不等式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.高中2019届毕业班第一次诊断性考试数学（文史类）参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13.1 14.
7、 15.9 16. 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得，从而可得，即又为三角形的内角，所以，于是又为三角形的内角，所以.（2）因为，且成等比数列，所以，且 所以，且，解得所以，所以所以.18.解：（1）设从高一年级男生中抽取人，则 解得，则从女生中抽取20人所以，.（2） 表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为，尚待改进的2人为，则从这5人中任选2人的所有可能结果为，共10种记事件表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则的结果为，共6种，所以，即所求概率为.（3）列联表如下：男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045，因为，所以没有
8、90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.19.解：（1）证明：连结 ，为的中点，且，又，是中点，由已知，且是平面内两条相交直线平面. （2）连接，由已知底面为直角梯形，则四边形为平行四边形所以因为平面，平面，平面平面，所以所以因为为中点，所以为中点所以，又因为点为的中点.所以.（3）由（1）平面得为四棱锥的高，且又因为是直角梯形，所以直角梯形的面积为则四棱锥的体积20.解：（1）抛物线的焦点是，又椭圆的离心率为，即，则故椭圆的方程为.（2）由题意得直线的方程为由消去得.由，解得.又，.设，则，.，则由，即，解得或.又，.即存在使.21.解：（1）函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线平行所以，即，由且，得，即的单调递减区间是由得，即的单调递增区间是.（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立即恒成立令当时，在上单调递减.当时，在上单调递增.所以时，函数有最小值由恒成立得，即实数的取值范围是.22.解：（1）曲线的参数方程为（为参数），即平方相加得的普通方程为：（或），代入直线的极坐标方程得的直角坐标方程.（2）由（1）知是以为圆心，为2半径的圆，且直线过圆心，又由于原点到直线的距离为则的面积为.23.解：（1）当时原不等式可化为两端平方得化简得解得则不等式的解集为.（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，即又因为则，解得则实数的取值范围为.