1、高考资源网（） 您身边的高考专家第5节基本不等式最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握基本不等式(a，b0)2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养2.均值不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养3.基本不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养利用基本不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题1基本不等式：.(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b
2、的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数yx的最小值是2.( )(2)ab2成立的条件是ab0.( )(3)x0且
3、y0是2的充要条件( )(4)若a0，则a3的最小值是2.( )(5)(ab)24ab(a，bR)( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1设ab0，下列不等式不正确的是( )AabBab D. 解析：C由a2b22ab，ab2及ab0知，ab，ab2，选项A、B正确.2)在xa处取最小值，则a等于( )A1 B1C3 D4解析：C当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3，选C.3在下列函数中，最小值是2的函数是( )AyxBycos xCyDyex2解析：D选项A中，x0时，y2，x0，y0，且2xy1，则的
4、最小值是_解析：因为(2xy)()442 8，当且仅当y，x时成立答案：8考点一利用基本不等式求最值(多维探究)命题点1通过配凑法利用基本不等式典例(1)已知0x1)的最小值为_解析y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立答案22命题点2通过常数代换法利用基本不等式典例若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为()A8B6C4D2数学运算基本不等式应用中的核心素养数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等应用基本不等式求最值就极大地提升了数学运算的核
5、心素养信息提取信息解读数学运算已知条件a0，b0，lgalgblg(ab)由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1着眼点一(对数的运算性质)：由lgalgblg(ab)，得lg(ab)lg(ab) ，即abab.着眼点二(等式的恒等变形)：再由abab，得1. 着眼点三(“1”代换)：ab(ab)2.着眼点四(基本不等式的应用)：2224，当且仅当ab2时等号成立求则ab的最小值利用常数“1”代换的方法，将ab的变形为ab(ab)2，在利用基本不等式求其最小值解析C由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(a
6、b)2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值跟踪训练1(2019濮阳市质检)若正实数x，y满足4xyxy，则x4y取最小值时，y的值为( )A1B2C3D5解析：D(1)x0，y0且4xyxy，1，x4y(x4y)1725
7、，当且仅当xy5时取等号，故选D.2函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在mxny20上，其中mn0，则的最小值为_解析：当x2时，yloga(23)11，即定点A的坐标为(2，1)，于是有2mn20，即m1，2，当且仅当，即nm2(1)时取等号，因此的最小值是.答案：考点二均值不等式的实际应用(师生共研)典例某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A60件B80件C100件 D120件解析B若每批生产x件产品
8、，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是2 20，当且仅当，即x80时取等号故选B.在利用基本不等式解决实际问题时，一定要注意所涉及变量的取值范围，即定义域若使基本不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数的单调性，利用单调性求最值跟踪训练某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则该公司年平均利润的最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：8考点三基本不等式的综合
9、应用(师生共研)典例(1)若a0，b0，ab2，则下列不等式：a2b22；2；ab1；.恒成立的是( )ABC D(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析(1)因为a0，b0，ab2，所以由 1 得a2b22; 2；ab1；即均正确；不妨令ab1，则2，故错误；综上所述，恒成立的是.故选B.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a3.设g(x)x，xN*，则g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min.3，a，故a的取值范围是.答案(1)B(2) 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略题型求解策略判断或证明不等式或比较
10、大小对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围与函数、数列、解析几何等其他知识结合的问题利用已知条件进行转化，再利用基本不等式求解跟踪训练1若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于( )A1B1C3D4解析：C当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3，选C.2若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为( )Aa Ba Ca Da解析：A由x0，得，当且仅当x1时，等号成立则a，故选A.1下列命题正确的是( )A
11、若xk，kZ，则sin2x4B若a0，b0，则lg alg b2D若a0，b0，则2解析：D当sin2x1时，1124，所以A错；若a0，则a4，B错；因为lg a，lg b可以小于零，C错；由a0，b0，所以，都大于零，D正确2已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A.B.C.D.解析：B0x0.x(33x)3x(1x)32.当x1x，即x时取等号3已知正数a，b的等比中项是2，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析：C由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab4，又mb，na，mn(ab)25，当且仅当ab2时取“”，故mn的最小值为5，故选C.4(2019
12、长春质检)设正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值4 B.有最小值C.有最大值 Da2b2有最小值解析：C由于a0，b0，由基本不等式得1ab2，当且仅当ab时，等号成立，ab，4，因此的最小值为4，a2b2(ab)22ab12ab1，()2ab212112，所以有最大值，故选C.5(2019宿州一模)若圆C：x2y24x2y10关于直线l：axby20(a0，b0)对称，则的最小值为( )A1 B5 C4 D4解析：D圆C：(x2)2(y1)24的圆心为(2,1)，圆C关于直线l：axby2对称，圆心在l上，2ab2，a1.又a0，b0，11224，的最小值为4.6当x1时，不等式xa恒
13、成立，则实数a的最大值为_解析：因为x1，所以x10.又xx11213，当且仅当x2时等号成立，所以a的最大值为3.答案：37设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值是_解析：(a1,1)，(b1,2)，A，B，C三点共线，与共线，2(a1)b10，即2ab1.a0，b0，(2ab)4448，当且仅当，即b2a时等号成立答案：88(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是_解析：总费用4x6442240，当且仅当x，即x30时等号成立答案：309已知a0，b0，c0，求证：abc.证明：a0，b0，c0，22c，22b，22a.以上三式相加得：22(abc)，即abc.10已知lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解：由lg(3x)lg ylg(xy1)得(1)x0，y0，3xyxy121，3xy210，即3()2210，(31)(1)0，1，xy1，当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1.(2)x0，y0，xy13xy32，3(xy)24(xy)40，3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当xy1时取等号，xy的最小值为2.- 10 - 版权所有高考资源网