1、专题3 圆锥曲线中的探究性与证明真题再研析提升审题力【典例】(12分)(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1，m)(m0).(1)证明:k-.(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:【审题逆向思维】(1)证明k0).(2)联立直线与椭圆方程得到直线l的方程解出m,进而求出点P的坐标.【标准答案】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减,并由得k=0.2分由题设知=1,=m,于是k=-.4分由题设得0m ,故k-.6分(2)由题意得F(1，0),设P(x3，y3),则由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=
2、-(y1+y2)=-2m0,由根与系数的关系得y1+y2=,y1y2=,由题意,直线NA:y=所以D 所以kDF=所以kFE=所以直线EF:y=令x=2,得E 因为所以所以共线,所以N,B,E三点共线.因为【考场秘技】1.探究性问题求解的思路及策略(1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正确,则不存在.(2)策略:当条件和结论不唯一时要分类讨论;当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.在这个解题思路指导下解决探究性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别.2.解决存在性问题的一些技巧(1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况
3、,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立.(2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去辅助变量求得核心变量.(3)核心变量的求法:直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解.间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解.【万能模板】解析几何中的探索性问题解题步骤第一步 假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在;第二步 用待定系数法设出元素;第三步 列出关于待定系数的方程组;第四步 解方程组;第五步 方
4、程组有解,则元素存在;方程组无解,则元素不存在.【阅卷点评】1.步骤分:第一问中设点,点差法表示斜率,中点坐标公式不可缺少;第二问中:直线l的方程,联立直线与椭圆的方程,根与系数的关系,弦长公式不可缺少.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如求出x1+x2的值.3.计算分:计算准确是根本保证,联立直线与椭圆的方程,整理过程要正确.4.区分公式:区分弦长公式的两种形式,不可混用.1.(探究性)已知椭圆E:=1(ab0)的离心率为,且点P 在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程.(2)过点M(1,1)任作一条直线l,l与椭圆E交于不同于P点的A,B两点,l与直线m:3x+4y-12=0交于
5、C点,记直线PA,PB,PC的斜率分别为k1,k2,k3.试探究k1+k2与k3的关系,并证明你的结论.高考演兵场检验考试力【解析】(1)因为椭圆E:=1(ab0)的离心率为,所以e=a=2c,因为a2=b2+c2,所以b=c.故可设椭圆E的方程为=1,因为点P 在椭圆E上,所以将其代入椭圆E的方程得=1c2=1.所以椭圆E的方程为=1.(2)依题意,直线l不可能与x轴垂直,故可设直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1,A(x1,y1),B(x2,y2)为l与椭圆E的两个交点.将y=kx-k+1代入方程3x2+4y2-12=0化简得(4k2+3)x2-8(k2-k)x+4k2-
6、8k-8=0.所以x1+x2=,x1x2=又由3x+4(kx-k+1)-12=0,解得x=即C点的坐标为所以k3=因此,k1+k2与k3的关系为k1+k2=2k3.2.(探究性)已知椭圆M:=1(ab0)经过点A(0,-2),离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)经过点E(0,1)且斜率存在的直线l交椭圆于Q,N两点,点B与点Q关于坐标原点对称.连接AB,AN.是否存在实数,使得对任意直线l,都有kAN=kAB成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可知b=2,e=又a2-c2=b2,得a=所以椭圆M的方程为=1.(2)存在实数,使得对任意直线l,都有kAN=kAB成
7、立.设直线l的方程为y=kx+1,联立可得(2+3k2)x2+6kx-9=0,设Q(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=-,x1x2=因为kAQ=所以kAQkAN=k2+2k2-2-3k2=-2,又因为点B与点Q关于原点对称,所以B(-x1,-y1),即kAB=则有kAQkAB=由点Q在椭圆C:=1上,得4-所以kAQkAB=-,所以即kAN=3kAB,所以存在实数=3,使kAN=kAB成立.3.(证明)如图,已知抛物线D:x2=2y的焦点为F,直线l交抛物线于A,B两点,且与抛物线D在点A处的切线垂直.(1)若直线l与y轴的交点为Q,证明:|FA|=|FQ|;(2)若直线AF与抛
8、物线交于一点C(不同于A),求ABC面积的取值范围.【解析】(1)设A ,抛物线D在点A处的切线的斜率为t,则直线AB的斜率为kAB=-,直线AB的方程为y-=-(x-t),所以Q|QF|=(2)联立可得x2+x-2-t2=0,|AB|=因为AC过点F,则C 点C到直线AB的距离d=所以SABC=|AB|d=当且仅当t2=1时取等号,所以ABC的面积的取值范围为4,+).4.(证明)抛物线x2=2py(p0)的焦点F到直线y=-的距离为2.(1)求抛物线的方程;(2)设直线y=kx+1交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别过A,B两点作抛物线的两条切线,两切线的交点为P,求证:
9、PFAB.【解析】(1)由题意知:F 则焦点F到直线y=-的距离为:=p=2,所以抛物线的方程为:x2=4y.(2)把直线y=kx+1代入x2=4y消y得:x2-4kx-4=0,又=16k2+160,由根与系数的关系得由题意设切线PA的斜率为kPA,切线PB的斜率为kPB,点P坐标为(m,n),由(1)可得:y=x2,则y=x,所以kPA=x1,kPB=x2,则切线PA的方程为y-n=x1(x-m),切线PB的方程为y-n=x2(x-m),则(i)-(ii)利用根与系数的关系化简整理得:m=2k,把m=2k代入(i)整理得:则P(2k,-1),F(0,1),kPFkAB=k=-1,则PFAB.
10、5.(证明)已知圆C:x2+(y-1)2=r2(r0),设A为圆C与y轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AM,并使弦AM的中点恰好落在x轴上.(1)求点M的轨迹E的方程;(2)延长MO交直线y=-1于点P,延长MC交曲线E于点N,曲线E在点N处的切线与y轴交于点Q.求证:MNQP.【解析】(1)设M(x,y),依题意A为圆C与y轴负半轴的交点,令x=0,得y=1r,所以A(0,1-r),又弦AM的中点恰好落在x轴上,AM的中点坐标为所以消去r得x2=4y,所以E:x2=4y(x0).(2)设MN:y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+1代入x2=4y得x2-4kx-4=0
11、,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,MO:y=x,令y=-1得xP=-,所以P 因为y=,所以点N处的切线为y-y2=(x-x2),即y=x-y2,令x=0得y=-y2,所以Q(0,-y2).所以PQ的斜率k=k,所以MNQP.6.(探究性)已知椭圆C:=1(ab0)的短轴长为2 ,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l平行于直线y=x,且与椭圆C交于A,B两个不同的点,若AOB为钝角,求直线l在x轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)由题意可得2b=2 ,所以b=,e=解得a=2 ,所以椭圆C的标准方程为=1.(2)由于直线l平行于直线y=x,即y=x,设直线l在y轴上的截距为
12、n,所以l的方程为y=x+n(n0).联立得x2+2nx+2n2-4=0,因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以=(2n)2-4(2n2-4)0,解得-2n2且n0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2n,x1x2=2n2-4.因为AOB为钝角等价于 0,且n0,所以 =x1x2+y1y2=x1x2+x1x2+(x1+x2)+n2=(2n2-4)+(-2n)+n20,即n2b0)的右顶点为A(2,0),定点P(0,-1),直线PA与椭圆交于另一点B (1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在过点P的直线l与椭圆C交于M,N两点,使得=6成立?若存在,请求出直线l的方程
13、;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由椭圆C:=1(ab0)的右顶点为A(2,0)知,a=2.把B点坐标代入椭圆方程,得=1.解得b2=3.所以椭圆C的标准方程为=1.(2)存在满足条件的直线l.A(2,0),B ,P(0,-1),|PA|=,|PB|=,所以=2.由=6,设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1,y1+1),=(x2,y2+1),所以x1=-3x2.当直线MN的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,这与=3矛盾.当直线MN的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-1.联立方程得(4k2+3)x2-8kx-8=0.x1+x2=,x1x2=.由x1=-3x2可得-2x2=即
14、整理得k2=.解得k=.综上所述,存在满足条件的直线l,其方程为y=x-1或y=-x-1.8.(证明)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+=1(x0)上的动点,求PAB面积的取值范围.【解析】(1)设P(x0,y0),因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根.所以y1+y2=2y0.因此,PM垂直于y轴.(2)由(1)可知所以|PM|=-3x0,|y1-y2|=2 因此,PAB的面积SPAB=|PM|y1-y2|=因为=1(x00),所以-4x0=-4 -4x0+44,5.因此,PAB面积的取值范围是