1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。关键能力素养形成类型一利用正弦定理解三角形【典例】(1)在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,求A,b,c.(2)在ABC中,c=,C=60,a=2,求A,B,b.【思维引】(1)先求A,然后利用正弦定理求解.(2)利用正弦定理求角A时,要注意解的个数的判断,再利用正弦定理求解.【解析】(1)A=180-(B+C)=180-(60+75)=45,由正弦定理=,得b=4,由=,得c=4.(2)因为=,所以sin A=.所以A=45或A=135.又因为ca,所以CA.所
2、以A=45.所以B=75,b=+1.【内化悟】在解三角形时,若已知角不是特殊角,应该如何处理?提示:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特殊角转化为特殊角的和或差,如75=45+30),再根据上述思路求解.【类题通】1.已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角.(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3
3、)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.【习练破】1.(2020烟台高一检测)已知ABC中,A=,B=,a=1,则b等于()A.2B.1C.D.【解析】选D.由正弦定理=,得=,所以=,所以b=.2.在ABC中,若a=,b=2,A=30,则C=_.【解析】由正弦定理=,得sin B=.因为0B180,所以B=45或135,所以C=180-45-30=105或C=180-135-30=15.答案:105或15类型二三角形的面积问题【典例】三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c. (1
4、)求C角的大小.(2)若a=,求ABC的面积.【思维引】(1)化简cos(A-C)+cos B=1,结合正弦定理求出角C.(2)利用(1)的结果求出A和B,用三角形的面积公式计算.【解析】(1)因为A+B+C=180,所以cos(A+C)=-cos B,因为cos(A-C)+cos B=1,所以cos(A-C)-cos(A+C)=1,展开得:cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-sin Asin C)=1,所以2sin Asin C=1.因为a=2c,根据正弦定理得:sin A=2sin C,代入上式可得:4sin2C=1,所以sin C=,所以C=30.(2)由
5、(1)sin A=2sin C=1,所以A=90.因为a=,C=30,所以c=,B=60.所以SABC=acsin B=.【类题通】三角形面积问题的求解方法对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.【习练破】(2019运城高二检测)在ABC中,已知BC=6,A=30,B=120,则ABC的面积为()A.9B.18C.9D.18【解析】选C.由正弦定理得=,所以AC=6.又因为C=180-120-30=30,所以SABC=ACBCsin C=66=9.类型三正弦定理的综合应用角度1判断三角形的形状【典例】(2019昆明高二检测)在ABC中
6、,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C.求证:ABC为等腰直角三角形.世纪【思维引】利用正弦定理,把条件中的角转化为边,再利用勾股定理的逆定理判断.【证明】因为=,所以=,又因为=,所以=,所以a2=b2,即a=b,设=k(k0),则sin A=,sin B=,sin C=,又因为sin2A+sin2B=sin2C,所以+=,即a2+b2=c2,所以ABC为等腰直角三角形.【素养探】判定三角形的形状时,判断和证明要掌握推理的基本形式和规则,形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质,突出体现逻辑推理的数学核心素养.把本例的条件改为:acos=bcos,试判断ABC的形状.【解析】【法一化角为
7、边】因为acos=bcos,所以asin A=bsin B.由正弦定理可得:a=b,所以a2=b2,所以a=b,所以ABC为等腰三角形.【法二化边为角】因为acos=bcos,所以asin A=bsin B.由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B,所以A=B.(A+B=不合题意舍去)故ABC为等腰三角形.【类题通】利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状.利用的公式为:sin A=,sin B=,si
8、n C=.(2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.角度2最值或范围问题【典例】在锐角ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范围.【思维引】利用正弦定理,把cos A+sin C转化为一个角的函数,利用三角函数的性质求解.【解析】在锐角ABC中,根据正弦定理,a=2Rsin A,b=2Rsin B,其中R为外接圆半径.因为a=2bsin A,所以2Rsin A=4Rsin Bsin A,所以sin B=.因为ABC为锐角三角形,所以B=.令y=cos A+sin C=cos A+sin-(B+A)=cos A+sin=cos A+sincos A+cossin A=cosA+sin A=sin.由锐角ABC知,-BA,所以A.所以A+,所以sin,所以sin,即y180,故舍去).所以ABC是等腰直角三角形.关闭Word文档返回原板块
