1、课后限时集训(十三)指数与指数函数建议用时：40分钟一、选择题1设a0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是()C.故选C.2已知函数f(x)42ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1,6)B(1,5) C(0,5)D(5,0)A由于函数yax的图象过定点(0,1)，当x1时，f(x)426，故函数f(x)42ax1的图象恒过定点P(1,6)3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()AabcBacb CbacDbcaCy0.6x在R上是减函数，又0.61.5，0.60.60.61.5.又yx0.6为R上的增函数，1.50.60.60.6，1.50.
2、60.60.60.61.5，即cab.4函数y(0a1)的图象的大致形状是()A BC DD函数的定义域为x|x0，所以y当x0时，函数是指数函数yax，其底数0a1，所以函数递减；当x0时，函数yax的图象与指数函数yax(0a1)的图象关于x轴对称，所以函数递增，所以应选D.5(多选)设指数函数f(x)ax(a0且a1)，则下列等式中正确的是()Af(xy)f(x)f(y)Bf(xy)Cf(nx)f(x)n(nQ)Df(xy)nf(x)nf(y)n(nN*)ABCf(xy)axyaxayf(x)f(y)，A正确；f(xy)axyaxay，B正确；f(nx)anx(ax)nf(x)n，C正确
3、；f(xy)n(axy)n，f(x)nf(y)n(ax)n(ay)n(axy)n(axy)n，D不正确6函数f(x)x22x的单调递减区间为()A(0，)B(1，) CC(，1)D(，1)B令tx22x，由yt为减函数知f(x)x22x的单调递减区间为tx22x的单调递增区间又tx22x(x1)21，则函数t的单调递增区间为(1，)，即f(x)的单调递减区间为(1，)，故选B.二、填空题7若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是_2，)由f(1)得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以
4、f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减8不等式2x22xx4的解集为_(1,4)原不等式等价为2x22x2x4，又因为函数y2x为增函数，x22xx4，即x23x40，1x4.9若直线y12a与函数y2|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_(数形结合法)当0a1时，作出函数y2|ax1|的图象，由图象可知02a1，0a；同理，当a1时，解得0a，与a1矛盾综上，a的取值范围是.三、解答题10已知关于x的函数f(x)2x(aa2)4x，其中aR.(1)当a2时，求满足f(x)0的实数x的取值范围；(2)若当x(，1时，函数f(x)的图象总在直线y1的上方，求a的整
5、数值解(1)当a2时，f(x)2x24x0，即2x22x1，x2x1，x1.故实数x的取值范围是(，1(2)f(x)1在x(，1上恒成立，即aa2在x(，1上恒成立因为函数x和x在x(，1上均为单调递减函数，所以在(，1上为单调递增函数，最大值为.因此aa2，解得a.故实数a的整数值是0,1.11.函数yF(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)ax与幂函数g(x)xb“拼接”而成(1)求F(x)的解析式；(2)比较ab与ba的大小；(3)若(m4)b(32m)b，求m的取值范围解(1)依题意得解得所以F(x)(2)因为ab2，ba，指数函数yx在R上单调递减，所以2，即abba.(3)
6、由(m4)(32m)，得解得m，所以m的取值范围是.1(2019全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设，由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A. RB RC. RD RD由(Rr)，得M1.因
7、为，所以(1)M1，得.由33，得33，即33，所以rR，故选D.2已知函数f(x)ex，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x1)f(x1)0的解集为()A(2，)B(2，)C(2，)D(，2)B函数f(x)ex的定义域为R，f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数，那么不等式f(2x1)f(x1)0等价于f(2x1)f(x1)f(1x)，易证f(x)在R上单调递增，2x1x1，解得x2，不等式f(2x1)f(x1)0的解集为(2，)3已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解(1)因
8、为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，所以f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)f(2t2k)f(2t2k)因为f(x)在R上单调递减，由上式推得t22t2t2k.即对一切tR有3t22tk0，从而412k0，解得k.故k的取值范围为.1(多选)(2020福建厦门质检改编)已知函数f(x)(aR)，下列结论正确的是()Af(x)为奇函数B若f(x)在定义域上是增函数，则a1C若f(x)的值域为R，则a1D当a1时，若f(
9、x)f(3x4)0，则x(1,0)(0，)ABD当x0时，x0，f(x)2xa，f(x)2xa(2xa)f(x)；当x0时，x0，f(x)2xa，f(x)2xa(2xa)f(x)则函数f(x)为奇函数，故A正确若f(x)在定义域上是单调递增，则20a20a，即a1，故B正确当x0时，f(x)2xa在区间(，0)上单调递增，此时值域为(，a1)；当x0时，f(x)2xa在区间(0，)上单调递增，此时值域为(1a，)要使得f(x)的值域为R，则a11a，即a1，故C错误当a1时，由于20a20a，则函数f(x)在定义域上单调递增，由f(x)f(3x4)0，得f(x)f(3x4)，则解得x(1,0)
10、(0，)，故D正确故选ABD.2定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)1.(1)当a1时，求函数f(x)在(，0)上的值域，并判断函数f(x)在(，0)上是不是有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在0，)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围解(1)设yf(x)1.当a1时，yf(x)2xx1(x0)，令tx，x0，则t1，yt2t12，y1，即函数f(x)在(，0)上的值域为(1，)，不存在常数M0，使得|f(x)|M成立函数f(x)在(，0)上不是有界函数(2)由题意知，|f(x)|3对x0，)恒成立，即3f(x)3对x0，)恒成立，令tx，x0，则t(0,1at对t(0,1恒成立，maxamin.设h(t)，p(t)t，t(0,1，h(t)在(0,1上递增，p(t)在(0,1上递减，h(t)在(0,1上的最大值为h(1)5，p(t)在(0,1上的最小值为p(1)1. 实数a的取值范围为5,1.