1、(建议用时:75分钟)1. 如图所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,2. BAC90,且ABAA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点求证:(1)DE平面ABC;(2)B1F平面AEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz,令ABAA14,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4)取AB中点为N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),(2,4,0),(2,4,0),DENC,又NC平面ABC,DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2,4),(2,2,2),(2,2,0)
2、(2)22(2)(4)(2)0,(2)222(4)00.,即B1FEF,B1FAF,又AFFEF,B1F平面AEF.2(2014山东卷)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,DAB60,AB2CD2,M是线段AB的中点(1)求证:C1M平面A1ADD1;(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形,且AB2CD,所以ABDC,又由M是AB的中点,因此CDMA且CDMA.连接AD1,如图1在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,图1因为CDC1D1,CDC1D1,可得C1D1MA,C
3、1D1MA,所以四边形AMC1D1为平行四边形,因此C1MD1A.又 C1M平面A1ADD1,D1A平面A1ADD1,所以C1M平面A1ADD1.(2)解法一如图2,连接AC,MC,由(1)知CDAM且CDAM,图2所以四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC,由题意ABCDAB60,所以MBC为正三角形,因此AB2BC2,CA,因此CACB.以C为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系Cxyz.所以A(,0,0),B(0,1,0),D1(0,0,)因此M,所以1,.设平面C1D1M的法向量n(x,y,z)由得可得平面C1D1M的一个法向量是n(1,1)又(0,0,)为平面ABCD的一个法向量
4、因此 cos ,n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.法二由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB,过C向AB引垂线交AB于N,连接D1N,如图3,图3由CD1平面ABCD,可得D1NAB,因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC中,BC1,NBC60,可得CN.所以ND1.在RtD1CN中, cos D1NC.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.3(2014新课标全国卷)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C.(1)证明:ACAB1;(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余
5、弦值(1)证明连接BC1,交B1C于点O,连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,且O为B1C及BC1的中点又ABB1C,ABBOB,所以B1C平面ABO,由于AO平面ABO,故B1CAO.又B1OCO,故ACAB1.(2)解因为ACAB1,且O为B1C的中点,所以AOCO.又因为ABBC,所以BOABOC.故OAOB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160,所以CBB1为等边三角形又ABBC,OCOA,则A,B(1,0,0),B1,C,(1,0)设n(x,y,z)是平面AA1B1
6、的法向量,则即所以可取n(1,)设m是平面A1B1C1的法向量,则同理可取m(1,),则 cos n,m.所以二面角AA1B1C1的余弦值为.4如图1,在RtABC中,C90,BC3,AC6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.(1)求证:A1C平面BCDE;(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由(1)证明因为ACBC,DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD,所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD,所以A
7、1C平面BCDE.(2)解如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,0),E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x,y,z),则n0,n0.又(3,0,2),(1,2,0),所以令y1,则x2,z.所以n(2,1,)设CM与平面A1BE所成的角为,因为(0,1,),所以 sin |cosn,|.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)解线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直理由如下:假设这样的点P存在,设其坐标为(p,0,0),其中p0,3设平面A1DP的法向量为m(x,y,z),则m0,m0
8、.又(0,2,2),(p,2,0),所以令x2,则yp,z.所以m(2,p,)平面A1DP平面A1BE,当且仅当mn0,即4pp0.解得p2,与p0,3矛盾所以线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直5. (2014新课标全国卷)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角DAEC为60,AP1,AD,求三棱锥EACD的体积(1)证明连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点又E为PD的中点,所以EOPB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解因为PA平
9、面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz,则D(0,0),E,.设B(m,0,0)(m0),则C(m,0),(m,0)设n1(x,y,z)为平面ACE的法向量,则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设| cosn1,n2|,即,解得m.因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.6(2015上饶模拟)如图1,已知矩形ABCD中,AB2AD2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使DB,如图2.(1)求证:平面AOD平面ABCO;(2)求直线BC与平面ABD
10、所成角的正弦值图1图2(1)证明在矩形ABCD中,AB2AD2,O为CD的中点,AOD,BOC为等腰直角三角形,AOB90,即OBOA.取AO中点H,连接DH,BH,则OHDHAO.在RtBOH中,BH2BO2OH2,在BHD中,DH2BH223,又DB23.DH2BH2DB2,DHBH.又DHOA,OABHH,DH平面ABCO.而DH平面AOD,平面AOD平面ABCO.(2)解分别以OA,OB所在直线为x轴,y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0),A(,0,0),D,C(,0),.设平面ABD的法向量为n(x,y,z),由得即xy,xz,令x1,则yz1,n(1,1,1)设为直线BC与平面ABD所成的角则 sin .即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.