1、第63讲两直线的位置关系与对称问题夯实基础【p144】【学习目标】1掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题2掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法并能利用图形的对称性解决有关问题【基础检测】1若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是()A1 B3C1或 D3或【解析】由题得4，解方程即得k3或.【答案】D2点P(2，5)关于直线xy1的对称点的坐标是()A(5，2) B(4，1) C(6，3) D(4，2)【解析】设点P(2，5)关于直线xy1的对称点Q的坐标为(m，n)，则由题意可得m4，n1.【答案】
2、B3若两直线3xy30与6xmy10平行，则它们之间的距离为()A. B. C. D.【解析】因为两条直线平行，所以3m6，所以m2.所以两条直线可以化为3xy30与3xy0所以两条平行线之间的距离为d.【答案】D4若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为()A3 B2 C3 D4【解析】因为直线l1l2，所以AB的中点M的轨迹是xy60，原点到直线l：xy60的距离为3，故AB中点M到原点距离的最小值为3.【答案】A5不论k为何实数，直线(2k1)x(k3)y(k11)0恒通过一个定点，这个定点的坐标是_【解析】
3、直线(2k1)x(k3)y(k11)0，即k(2xy1)(x3y11)0，根据k的任意性可得 解得不论k取什么实数时，直线(2k1)x(k3)y(k11)0都经过定点(2，3)【答案】(2，3)【知识要点】1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_k1k2_，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，则l1l2_k1k21_如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB
4、2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有_唯一解_，交点的坐标就是方程组的解；平行方程组_无解_；重合方程组有_无穷多组解_3三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|_；(2)点P0(x0，y0)到直线AxByC0的距离d_；(3)两平行线AxByC10，与AxByC20间的距离为_d_4中心对称(1)设平面上的点M(a，b)，P(x，y)，P(x，y)，若满足：a，b，那么，我们称P，P两点关于点M对称，点M叫做对称中心(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P的坐标是(x，y)，则5轴对称(
5、1)设平面上有直线l：AxByC0和两点P(x，y)，P(x，y)，若满足下列两个条件：_PP直线l_；_PP的中点在直线l上_，则点P，P关于直线l对称(2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：关于x轴对称(以_y_代_y_)；关于y轴对称(以_x_代_x_)；关于yx对称(_x、y_互换)；关于xy0对称(以_x_代_y_，以_y_代_x_)；关于xa对称(以_2ax_代_x_)；关于yb对称(以_2by_代_y_)(3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax
6、ByC0(AB0)对称，则6直线系(1)与AxByC0平行的直线方程可设为：AxBy0；与AxByC0垂直的直线方程可设为：BxAy0.(为待定系数，R)(2)过A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线方程可设为：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(R且不包含直线A2xB2yC20)，其中A1B2A2B1.典 例 剖 析【p144】考点1两条直线的平行与垂直问题已知直线l1的方程为3x4y120.(1)若直线l2与l1平行，且过点(1，3)，求直线l2的方程；(2)若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程【解析】(1)由直线l2与l1平行，
7、可设l2的方程为3x4ym0.将x1，y3代入，得312m0，解得m9，直线l2的方程为3x4y90.(2)由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x3yn0，令y0，得x，令x0，得y，故三角形面积S4，化简得n296，即n4，直线l2的方程是4x3y40.【点评】若直线l1、l2的方程分别为A1xB1yC10与A2xB2yC20，则l1l2的必要条件是A1B2A2B10；而l1l2的充要条件是A1A2B1B20.解题中为避免讨论，常依据上面结论结合淘汰法求解考点2两条直线相交(1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_【解析】(1)法一：由方程组解得(若
8、2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.法二：如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示过定点P(2，1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB，k.【答案】k(2)如图，设一直线过点(1，1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求该直线的方程【解析】与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，
9、即(1)x(2)y20.又直线过(1，1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.考点3距离公式的应用(1)直线l过点P(1，2)且点A(2，3)和点B(4，5)到l的距离相等，则直线l的方程为_【解析】法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意综上得直线l的方程为x3y50或x1.法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1，4)直线l的方程为x
10、1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.【答案】x3y50或x1(2)正方形的中心为点C(1，0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程【解析】点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.综上得正方形其他三边所在直线方程分别为x3y70，3xy30，3x
11、y90.【点评】利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等已知定点P(2，1)和直线l：(13)x(12)y(25)0(R)(1)求证：直线l过某个定点，并求出该点的坐标；(2)求证：不论取何值，点P到直线l的距离不大于.【解析】(1)方程(13)x(12)y(25)0，可整理为(xy2)(3x2y5)0.令得故x1，y1能使原方程左右两边相等恒成立，所以直线l过定点，且该点的坐标为(1，1)(2)由(1)知直线l过定点(1，1)，设该点为A，设P与直线l的距离为d，而线段AP为点P
12、与直线l上一点的连接线段，可知d|AP|，而|AP|，所以d，即不论取何值，点P到直线l的距离不大于.(本题也可以建立以为自变量的目标函数来求解)考点4对称问题(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_【解析】设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.【答案】x4y40(2)已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_【解析】设A
13、(x，y)，由已知得解得故A.【答案】(3)已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程【解析】在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)又m经过点N(4，3)由两点式得直线m的方程为9x46y1020.【点评】解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化
14、为点关于直线的对称问题来解决方 法 总 结【p146】1判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形在两条直线斜率都存在的条件下，才有l1l2k1k2且b1b2与l1l2k1k21.2在运用公式d求平行直线间的距离时，一定要注意两直线的x，y项系数对应相等3求对称点的步骤：(1)设点设对称点为(x，y)；(2)列式利用中点公式(中心对称情况)或垂直、平分的条件(轴对称情形)来列关于x，y的方程组；(3)求解解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标4求对称曲线的步骤：(1)设点设所求曲线上的点为P(x，y)；(2)求点求出P点的对称点为Q(x，y)，即用x，y
15、来表示x，y；(3)代入将Q点坐标代入已知曲线的方程，所得的x，y的关系式就是所求对称曲线的方程注意记住几种特殊的对称性结论：对称中心是特殊点(如原点)；对称轴是特殊直线(如x轴，y轴，yxb，yxb等直线)，求对称点和对称曲线可采用代入法直接求解5对有关中点、角平分线、光线反射以及在直线上求一点使点到两个已知点的距离之和最小(或距离之差最大)等问题，通常将其转化为对称问题来处理走 进 高 考【p146】1(2018北京)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos ，sin )到直线xmy20的距离，当，m变化时，d的最大值为()A1 B2 C3 D4【解析】由题意可得d(其中cos ，sin )
16、，1sin()1，d，1，当m0时，d取最大值3.【答案】C2(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2，6 B4，8C，3 D2，3【解析】直线xy20分别与x轴，y轴分别交于A，B两点，A(2，0)，B(0，2)，|AB|2，点P在圆(x2)2y22上，圆心为(2，0)，设圆心到直线的距离为d1，则d12，故点P到直线xy20的距离d2的范围是，3，则SABP|AB|d22，6【答案】A考 点 集 训【p257】A组题1直线xay70与直线(4a1)xy60互相垂直，则a的值为()A. B C. D【解析】直线
17、xay70与直线(4a1)xy60互相垂直，(4a1)a0，a.【答案】B2若三条直线2x3y80，xy10与直线xky0交于一点，则k()A2 B2 C D.【解析】两方程联立可得交点坐标为(1，2)，代入第三条直线方程得12k0，解得k.【答案】C3若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()A5 B. C15 D.【解析】因为l1l2，所以P1P2的中点P轨迹为直线：xy0，xy100，因此P到原点的距离的最小值是5.【答案】A4已知直线l：xy10，l1：2xy20，若直线l2和l1关于直线l
18、对称，则l2的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10【解析】设A(x，y)，A1(x1，y1)分别是直线l2，l1上关于l对称的点则求得又点A1(x1，y1)在直线l1上，则2x1y120，将代入得2(y1)(x1)20，即x2y10，故选B.【答案】B5已知A(2，0)，l：xy30，若一条光线过点A，经过l反射到y轴结束，则这条光线经过的最短路程是_【解析】设点A关于直线l的对称点为B(m，n)，所以由题得解之得B(3，1)因为点B到y轴的距离就是这条光线经过的最短路程，所以最短路程是3.【答案】36已知直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(2，1)，B(4，5)到l
19、的距离相等，则l的方程为_【解析】当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，A(2，1)，B(4，5)两点到直线l的距离|12|14|3，直线方程x1，满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为yk(x1)，即kxyk0，A(2，1)，B(4，5)两点到直线l的距离相等，解得k1，直线方程xy10，满足条件；综上可得，直线方程为x1或xy10.【答案】x1或xy107已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值【解析】(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2
20、y)0，即(2)x(12)y50.点A(5，0)到l的距离为3，3，即22520，2，或，l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立)dmaxPA.8在ABC中，已知A(，3)，AB边上的中线CM所在直线方程为5x9y180，B的角平分线BT所在直线的方程为y1.(1)求顶点B的坐标；(2)求ABC的面积【解析】(1)设B(x0，y0)，则AB的中点M在直线CM上所以59180即：5x09y060，又点B在直线BT上，即：y01，由可得x0，y01，即B点的坐标为(，1)(2)因为点A(，3)关于直线B
21、T的对称点D的坐标为(，1)，而点D在直线BC上由题知得，kBCkBD，所以直线BC的方程为xy0.因为直线BC和直线CM交于C点，由知C(3，3)，则|BC|8，A点到直线BC的距离d2，所以SABC828.B组题1已知三条直线2x3y10, 4x3y50, mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A. B.C. D.【解析】因为三条直线2x3y10，4x3y50，mxy10不能构成三角形，所以直线mxy10与2x3y10或4x3y50平行，或者直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点直线mxy10与2x3y10，4x3y50分别平行时，m，或.直线mxy10过2x3y10
22、与4x3y50的交点时，m，所以实数m的取值集合为.【答案】D2如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_【解析】以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，2)，C(b，3)ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面积S6.【答案】63在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)
23、，D(7，1)的距离之和为PAPBPCPDPBPDPAPCBDACQAQBQCQD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)，直线AC的方程为y22(x1)，直线BD的方程为y5(x1)由得Q(2，4)【答案】(2，4)4已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由【解析】(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或c，所以2x0y00或2x0y00；若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)；联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点P同时满足三个条件