1、2.1.1椭圆及其标准方程（检测教师版）(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为()A.2B.3C.5D.7【解析】选D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.2.已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON为MEF的中位线,所以|ON|=|ME
2、|=4.3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是()A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为()A.+=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,因为PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即=c.又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,所以a-c=,联立,可得a=2,c=,b=3.因此a2=12且b2=9,可得椭
3、圆的标准方程为+=1或+=1.5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且=0,则点M到x轴的距离为()A.B.C.D.【解题指南】由=0知MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.【解析】选C.由=0,得MF1MF2,可设|=m,|=n,在F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以=mn=1,设点M到x轴的距离为h,则|F1F2|h=1,又|F1F2|=2,故h=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一
4、个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|PF2|的最大值是.【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|PF2|=16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,故|PF1|PF2|的最大值是16.答案:168.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为的正三角形,则b2=.【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y
5、=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.答案:2三、解答题(每小题10分，共10分)9.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=,求的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|PF2|=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=得x0=,y0=-.又+=1,所以有2+6-7=0,解得=-7或=1,C异于B点,故=1舍去.所以=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|4+|BF2|,所以PBF1的周长4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,PBF1周长最大,最大值为8.