1、3.2对数与对数函数解读对数概念及运算对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容现梳理这部分知识，供同学们参考一、对数的概念对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即abNlogaNb(a0，且a1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaabb；(2)alogaNN.例1 计算：log22log51log39log32.分析根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值解原式10log333(3log32)21342.点评解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数二、对数的运算法则常用的对数运算法则有：对于M0，N0.(1)lo
2、ga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM.例2 计算：lg 142lg lg 7lg 18.分析运用对数的运算法则求解解由已知，得原式lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(322)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.点评对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：logab(a0且a1，c0且c1，b0)由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)logablogba1；(2)loganbmlogab.例3
3、计算：(log25log4125).分析在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底解原式(log25log25)log25log52.点评对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界对数换底公式的证明及应用设a0，c0且a1，c1，N0，则有logaN，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中
4、没有给出证明，现证明如下：证明记plogaN，则apN.*式两边同时取以c为底的对数(c0且c1)得logcaplogcN，即plogcalogcN.所以p，即logaN.推论1：logablogba1.推论2：loganbmlogab(a0且a1，b0)例4 (1)已知log189a,18b5，求log3645的值；(2)求log23log34log45log6364的值解(1)因为log189a,18b5，所以a.所以lg 9alg 18，lg 5blg 18.所以log3645.(2)log23log34log45log63646.点评对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算
5、，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数例5 已知log8alog4b，log8blog4a27，求ab的值解由已知可得即解得所以a26，b23.故ab2623512.点评发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单此外还有下面的关系式：logNM；logaMlogbNlogaNlogbM；logab；NlogaMMlogaN.对数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质
6、的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想一、求函数的单调区间例6 画出函数ylog2x2的图象，并根据图象指出它的单调区间解当x0时，函数ylog2x2满足f(x)log2(x)2log2x2f(x)，所以ylog2x2是偶函数，它的图象关于y轴对称当x0时，ylog2x22log2x，因此先画出y2log2x(x0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1与C2构成函数ylog2x2的图象，如图所示由图象可以知道函数ylog2x2的单调减区间是(，0)，单调增区间是(0，)点评作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区
7、间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题二、利用图象求参数的值例7 若函数f(x)loga(x1)(a0，a1)的定义域和值域都是0,1，则a等于()A. B. C. D2解析当a1时，f(x)loga(x1)的图象如图所示f(x)在0,1上是单调增函数，且值域为0,1，所以f(1)1，即loga(11)1，所以a2，当0a1时，其图象与题意不符，故a的值为2，故选D.答案D点评(1)当对数的底数不确定时要注意讨论；(2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)三、利用图象比较实数的大小例8 已知logm21，试确定实数m和n的大小关系解在同一直角坐标系中作出函数ylogmx与ylognx的图
8、象如图所示，再作x2的直线，可得mn.点评不同底的对数函数图象的规律是：(1)底都大于1时，底大图低(即在x1的部分底越大图象就越接近x轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0x1的部分底越大图象就越远离x轴)四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x的方程|log3x|a，讨论a的值来确定方程根的个数解因为y|log3x|在同一直角坐标系中作出函数与ya的图象，如图可知：(1)当a0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个点评利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图
9、象若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同三类对数大小的比较一、底相同，真数不同例10 比较loga与loga的大小分析底数相同，都是a，可借助于函数ylogax的单调性比较大小解由()68()69，得1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，故logaloga；当0aloga.点评本题需对底数a的范围进行分类讨论，以确定以a为底的对数函数的单调性，从而应用函数ylogax的单调性比较出两者的大小二、底不同，真数相同例11 比较log0.13与log0.53的大小分析底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数ylog0.1x与ylog0
10、.5x的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题解方法一在同一坐标系中作出函数ylog0.1x与ylog0.5x的图象，如右图在区间(1，)上函数ylog0.1x的图象在函数ylog0.5x图象的上方，故有log0.13log0.53.方法二log0.13，log0.53.因为31，故ylog3x是增函数，所以log30.1log30.5.即log0.13log0.53.方法三因为函数ylog0.1x与ylog0.5x在区间(0，)上都是减函数，故log0.13log0.1101，log0.53log0.53.点评方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问
11、题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系三、底数、真数均不同例12 比较log3与log5的大小分析底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小解因为函数ylog3x与函数ylog5x在(0，)上都是增函数，故log3log510，所以log30，得x，所以定义域为x|x剖析当2x31时，log210，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点正解x|x且x1三、忽视底数的取值范围例15 已知log(2x5)(x2x1)1，则x的值是()A4 B2或3C3 D4或5错解由2x5x2x1，化简得x2x60，解得x2或x3.故选B.剖析忽视了底数有意义的
12、条件：2x50且2x51.当x2时，2x51，应舍去，只能取x3.正解C四、忽视真数大于零例16 已知lg xlg y2lg(x2y)，求log的值错解因为lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20，所以xy或x4y，即1或4，所以log0，或log4.剖析错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x0，y0，x2y0，所以x2y0，所以xy不成立正解因为lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20，所以xy或x4y，因为x0，y0，x2y0，所以xy应舍去，所以x4y，即4，所以log4.五、对数运算性质混淆例17 下
13、列运算：(1)log2；(2)log283log22；(3)log2(84)log28log24；(4)log2log23log2(3)其中正确的有()A4个 B3个 C2个 D1个错解A剖析(1)真数8与4不能相除；(3)中log2(84)不能把log乘进去运算，没有这种运算的，运算log2log28log24才是对的；(4)错把log提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)正解D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数ylogax(2x4)的最大值比最小值大1，求a的值错解由题意得loga4loga2loga21，所以a2.剖析对数函数的底数含有参数a，错在没有讨论a与1的大小关系而
14、直接按a1解题正解若a1，函数ylogax(2x4)为增函数，由题意得loga4loga2loga21，所以a2，又21，符合题意若0a1，函数ylogax(2x4)为减函数，由题意得loga2loga4loga1，所以a，又01，符合题意，综上可知a2或a.巧借对数函数图象解题数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问
15、题的解决得到简化例1 方程lg xx3的解所在区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3，)解析在同一平面直角坐标系中，画出函数ylg x与yx3的图象(如图所示)它们的交点横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除选项A、D.实际上这是要比较x0与2的大小当x02时，lg x0lg 2，3x01.由于lg 22，从而判定x0(2,3)答案C点评本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg xx3的解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断二、利用数形结合求解的个数例2 已知函数f(x)满足f(x2)f
16、(x)，当x1,1)时，f(x)x，则方程f(x)lg x的根的个数是_解析构造函数g(x)lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根答案4点评本题学生极易填3项，其原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x10时，y1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性三、利用数形结合解不等式例3 使log2x0，a1)，由已知得loga(1)loga(1)1，即loga(1)(1)1a2.所以f(x)log2x(x0)从而得f(1)f(1)log2(1)(1)2.二、考查对数的运算性质例5 的值是()A. B1 C. D2解析原式.答
17、案A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知logax2，logbx3，logcx6，求logabcx的值解由已知，得a2x，b3x，c6x，所以ax，bx，cx.于是，有abcxx1，所以xabc，则logabcx1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B.C. D(0，)解析要使f(x)有意义，需log(2x1)0log1，02x11，x0.答案A例8 已知函数f(x)2log3x(1x9)，则函数g(x)f2(x)f(x2)的最大值为_，最小值为_解析由已知，得函数g(x)的定义域为1x3.且g(x)f2(x)f(x2)(2log
18、3x)22log3x2logx6log3x6.则当log3x0，即x1时，g(x)有最小值g(1)6；当log3x1，即x3时，g(x)有最大值g(3)13.答案136五、考查单调性例9 若函数f(x)logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a为()A. B. C. D.解析由于0a1，所以f(x)logax(0a1)在区间a,2a上递减，在区间a,2a上的最大值为f(a)，最小值为f(2a)，则f(a)3f(2a)，即logaa3loga(2a)a.答案A六、考查对数函数的图象例10 若不等式x2logax0在(0，)内恒成立，则a的取值范围是_解析由已知，不等式可化为
19、x2logax.所以不等式x2logax在(0，)内恒成立，可转化为当x(0，)时，函数yx2的图象在函数ylogax图象的下方，如图所示答案，1)点评不等式x2C，CB，则AB.例11 比较大小：log9，log8.解由于log9log9log8log8，所以log90，则AB；(2)作商比较：若A，B0，且1，则AB.例12 比较大小：(1)log47，log1221；(2)log1.10.9，log0.91.1.解(1)log47log1221(log471)(log12211)log4log12，由于0log4，即log47log1221.(2)由于log1.10.9，log0.91.
20、1都小于零，所以(log1.10.9)2(log1.10.9)2(log1.1)2(log1.1)21，故|log1.10.9|log0.91.1|，所以log1.10.9log0.91.1.点评将本例(1)推广延伸为：若1A0，则logABlogAC(BC)，进而可比较形如此类对数的大小三、减数法将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小理论依据：若ACBC，则AB.例13 比较大小：logn2(n1)，logn1n(n1)解因为logn2(n1)1logn2logn2logn1logn1n1.所以logn2(n1)logn1n.点评将本例推广延伸为：若1A0，则logAC
21、(BC)logAB，进而可比较形如此类对数的大小四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解理论依据：若AlogaMkx，BlogbNky，且xy，则AB.例14 比较大小：log3，log8.解令log32x，log82y，于是2(2x)3,3(2y)8，则2x3y0，故2xylg 3，则1，即xy，故log3log8.点评这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思解题要学会反思解题中的反思是完善解题思路的有效方法，面对一道较为综合的题，寻找解题思路时，想一步到位，往往不太现实；边解边反思，逐步
22、产生完善、正确的解题思路，却是可行的，请看：题目：已知函数f(x)logm，试问：是否存在正数，使f(x)在，上的值域为logm(4)，logm(4)？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由甲：在，上的值域为logm(4)，logm(4)，也就是，与矛盾，故不存在乙：你的解答不全面，你的求解建立在一个条件的基础上，就是函数f(x)是增函数，而题目并没有说明这个函数是增函数呀！丙：没错，应该对m进行讨论设0x1x2，由于0，那么0.讨论：(1)若0mlogm，即f(x1)f(x2)，得f(x)为减函数(2)若m1，则logmlogm，即f(x1)f(x2)，得f(x)为增函数若m存在，当0m1时
23、，则显然，是方程x22x90的两根，由于此方程的两根中一根为正，另一根为负，与01时，就是甲的解题过程，同样满足条件的，不存在老师：乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思通过你们的讨论可以看出，反思的作用相当大，它可以使思路逐步完善，最终形成完美的解题过程.对数函数高考考点例析对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分，关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析，希望对大家的学习有所帮助1(湖南高考)函数f(x)的图象和函数g(x)log2x的图象的交点个数是()A1 B2 C3 D4解析作出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示，由图
24、象可知：两函数图象的交点有3个答案C2(江苏高考)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析函数f(x)的定义域为，令t2x1(t0)因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间为.答案3(辽宁高考)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)解析当x1时，由21x2，知x0，即0x1.当x1时，由1log2x2，知x，即x1，所以满足f(x)2的x的取值范围是0，)答案D(一)排除法当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时，可以从反面入手，因为选择题的正确答
25、案已在选项中列出，从而逐一考虑所有选项，排除其中不正确的，则剩下的就是正确的答案4(全国高考)若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac解析首先比较a，b，即比较3ln 2,2ln 3的大小，3ln 2ln 8ln 92ln 3，ab.故排除B、D.同理可得ca.答案C(二)媒介法对于直接比较困难时，常插入媒介，以此为桥梁进行比较，常插入0或1.5(山东高考)下列大小关系正确的是()A0.4330.4log40.3B0.43log40.330.4Clog40.30.4330.4Dlog40.330.40.43解析分析知00.43301，log40.3log410，故log40.3
26、0.4330.4.故选C.答案C(三)特值法对于有些有关对数不等式的选择题，通过取一些符合条件的特殊值验证，往往也能简便求解6(青岛模拟)已知0xya1，则有()Aloga(xy)0 B0loga(xy)1C1loga(xy)2解析取x，y，a，代入loga(xy)检验即可得D.答案D7对于函数yf(x)，xD，若存在一常数c，对任意x1D，存在惟一的x2D，使c，则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)lg x，x10,100，则函数f(x)lg x在10,100上的均值为()A. B. C. D10分析该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势其本质是考查关
27、于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化解析首先从均值公式可得lg (x1x2)2c，所以x1x2102c100c.因为x1，x210,100，所以x1x2100,10 000所以100100c 10 000.所以1c2.从选项看可知成为均值的常数可为.故选A.答案A8函数y|log2x|的定义域为a，b，值域为0,2，则区间a，b的长度ba的最小值为()A3 B. C2 D.分析对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究本题正是以函数ylog2x为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a，b的关系结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系解析画出函数图象如图所示由log2a2得a.由log2b2得b4.数形结合知a，1，b1,4考虑函数定义域，满足值域0,2的取值情况可知，当b1，a时，ba的最小值为1.故选B.答案B