1、专题2：函数1.映射: AB的概念。在理解映射概念时要注意：A中元素必须都有像且唯一；B中元素不一定都有原像，但原像不一定唯一。【例1】（1）设是集合到的映射，下列说法正确的是( )A、中每一个元素在中必有像 B、中每一个元素在中必有原像C、中每一个元素在中的原像是唯一的 D、是中所在元素的像的集合（2）点在映射的作用下的像是，则在作用下点的原像为点_（3）若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（4）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有_个（5）设是集合A到集合B的映射，若B=1,2，则一定是_2.函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据
2、此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。 【例2】（1）已知函数，那么集合中所含元素的个数有 个.（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。【例3】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为4，1的“天一函数”共有_个4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，
3、分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。【例4】（1）函数的定义域是_ _ （2）若函数的定义域为R，则_.（3）函数的定义域是，则函数的定义域是_（4）（重要题型）设函数，若的定义域是R，求实数的取值范围 ；若的值域是R，求实数的取值范围 。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。【例5】（1）若函数的定义域为，则的定义域为_（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_5.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法二次函数（二次函数在给出区
4、间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），【例6】（1）求函数的值域: （2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_ _（3）已知的图像过点（2,1），则的值域为_（2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，【例7】（1）的值域为_ _（2）的值域为_ _（3）的值域为_ （4）的值域为_（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，
5、最常用的就是三角函数的有界性，【例8】求函数，的值域?（4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，【例9】求，的值域?（5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，【例10】（1）已知点在圆上，求及的取值范围?（2）求函数的值域?（3）求函数及的值域?（6）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，【例11】求的值域?型，先化简，再用均值不等式，【例12】（1）求的值域 （2）求函数的值域 型
6、，通常用判别式法；【例13】已知函数的定义域为R，值域为0，2，求常数的值?型，可用判别式法或均值不等式法，【例14】求的值域 （7）不等式法利用基本不等式：求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。【例15】设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（8）【自主招生班级讲解】导数法一般适用于高次多项式函数，【例16】求函数，的最小值?提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对
7、应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。【例17】（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是_（2）已知，则不等式的解集是_7.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。【例18】已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图像在x轴上截得的线段长为2,求的解析式?【一题多解】（2）代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。【例19】（
8、1）已知 求的解析式 （2）若，则函数=_（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_ 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。（3）方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。【例20】（1）已知，求的解析式 （2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= _8. 反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。【例21】函数在区间1, 2上存在反函数的充要条件是
9、( )A、 B、C、 D、（2）求反函数的步骤：【反表示法】反求；互换 、；注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数的反函数不是，而是。【例22】设.求的反函数= （3）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。【例23】单调递增函数满足条件= x ，其中 0 ，若的反函数的定义域为 ，则的定义域是_函数的图像与其反函数的图像关于直线对称，注意函数的图像与的图像相同。【例24】（1）已知函数的图像过点(1,1),那么的反函数的图像一定经过点_ _（2）已知函数，若函数与的图像关于直线对称，求的值= 。【例25】（1）已知函数，则方程的解_（2）设函数f
10、(x)的图像关于点（1,2）对称，且存在反函数，f (4)0，则 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。【例26】已知是上的增函数，点在它的图像上，是它的反函数，那么不等式的解集为_设的定义域为A，值域为B，则有，但。9.函数的奇偶性。（1）【定义域优先原则】具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。【例27】若函数，为奇函数，其中，则的值是 （2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：【例28】判断函数的奇偶性_ 利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。【例
11、29】判断的奇偶性_ _.图像法：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称。（3）函数奇偶性的性质：【口诀：奇同偶异】奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.【例30】若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_.若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。【例31】若为奇函数，则实数_定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。【例32】设是定义域为R的任一
12、函数， ，。判断与的奇偶性； 若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则_ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.10.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。【例33】已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图像和单调性在解题中的运用：增区间为；减区间为.【例34】（1）若函数 在区间（，4 上是减函
13、数，那么实数的取值范围是_ _（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_ _（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是_ _复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，【例35】函数的单调递增区间是_ _（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示【例36】若函数在区间上为减函数，求的取值范围 （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.【例37】已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围 。11. 常见的图像变换：函数的图像是把函数的图像
14、沿轴向左平移个单位得到的。【例38】设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为_函数(的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的。【例39】（1）若，则函数的最小值为_（2）要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到。（3）函数的图像与轴的交点个数有_个.函数+的图像是把函数助图像沿轴向上平移个单位得到的；函数+的图像是把函数助图像沿轴向下平移个单位得到的；【例40】将函数的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图像如果与原图像关于直线对称,那么 （ ） 函数的图像是把函数的图像沿轴伸缩为原来的得到的。【例41】（1）将函数的图像上所
15、有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_ _（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_ _函数的图像是把函数的图像沿轴伸缩为原来的倍得到的. 12. 函数的对称性：满足条件的函数的图像关于直线对称。【例42】已知二次函数满足条件且方程有等根，则_ _点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； 点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； 点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；
16、曲线关于直线的对称曲线的方程为。【例43】己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是_曲线关于点的对称曲线的方程为。【例44】若函数与的图像关于点（-2，3）对称，则_ _形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。【例45】已知函数图像与关于直线对称，且图像关于点（2，3）对称，则a的值为_的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；的图像先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后作出轴右方的图像关于轴的对称图形得到。【例46】（1）作出函数及
17、的图像；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图像关于_对称 提醒：（1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，需证两方面：证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上。【例47】（1）已知函数，求证：函数的图像关于点成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线。写出曲线的方程 证明曲线C与关于点对称。13. 函数的周期性。（1）类比“三角函数
18、图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；【例48】已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根。（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.【例49】(1) 设是上的奇函数，当时，则等于_ (2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_ 。（3）已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值= （4）设是定义域为R的函数
19、，且，又，则=14.指数式、对数式：， 。（1） ；（2） .【例50】（1）的值为_（2）的值为_15. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图像比较。 16. 函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽像概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；
20、建立指数函数模型；建立型。17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽像函数 ：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，； 三角函数型： - 。【例51】已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则_（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：【例52】（1）设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有（ ）A、 B、C、 D、（2）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，求= （3）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是_（3）利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。【例53】（1）若，满足，则的奇偶性是_（2）若，满足，则的奇偶性是_O 1 2 3 xy（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，又，求证为减函数；解不等式.
