1、第6课时对数(1) 教学过程一、 问题情境1若某物质最初的质量为1,每经过1年,这种物质剩留的质量是原来的84%,则经过x年,该物质的剩留量y=0.84x.由此,知道了经过的时间x,就能求出该物质的剩留量y;反过来,知道了该物质的剩留量y,怎样求出所经过的时间x呢?二、 数学建构(一) 生成概念一般地,如果a(a0, a1)的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.(二) 理解概念1. 指数式与对数式的互化(引导学生填写下面表格,理解a, b, N的地位和作用)式子名称及范围a(a0, a1)b(bR)N(N0)指数式ab
2、=N底数指数幂对数式logaN=b底数对数真数 总结:指数式ab=N与对数式logaN=b这两个等式所表示的是a, b, N三个量之间的同一关系.2. 对数恒等式(1)loga1=0;(2)logaa=1;(3)=N;(4)logaab=b.(a0且a1, bR)3. 特殊的两个对数(1) 常用对数:以10为底的对数称为常用对数,如log102, log1012等.为了方便起见,对数log10N简记为lgN,如lg2, lg12等.(2) 自然对数:以e为底的对数称为自然对数.e=2.71828是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN,如loge2, loge15分别记为ln2
3、, ln15等.三、 数学运用【例1】(教材P73例1)将下列指数式改写成对数式:(1) 24=16;(2)3-3=;(3)5a=20;(4)=0.45.(见学生用书课堂本P43)处理建议通过指数式与对数式的关系,引导学生熟练地进行指数式与对数式的互化.规范板书解(1)log216=4.(2)log3=-3.(3)log520=a.(4)0.45=b.【例2】(教材P73例2)将下列对数式改写成指数式:(1)log5125=3;(2)3=-2;(3)log10a=-1.699.(见学生用书课堂本P44)规范板书解(1)53=125.(2)=3.(3)10-1.699=a.题后反思例1与例2中指
4、数式与对数式的互化,关键是要熟练掌握对数的定义(对数式是如何由指数式变化而来的).【例3】(教材P73例3)求下列各式的值:(1)log264;(2)log927.(见学生用书课堂本P44)处理建议引导学生用对数的定义去解决问题.规范板书解(1) 由26=64,得log264=6.(2) 设x=log927,则根据对数的定义知9x=27,即32x=33,得2x=3,x=,所以log927=.题后反思第(1)题可以通过化简真数直接得到结果;第(2)题稍微转了一个弯,学生无法直接进行运算,这个时候就要提醒学生“对数的定义是从指数的定义中演变而来”,因此本题转化为指数形式进行解决是理所当然的事.变式
5、求下列各式中x的值:(1) logx4=;(2) x=-3;(3) (2x2-4x+1)=1;(4) =0;(5) log5log3(log2x)=0.处理建议提醒学生在解对数方程时,需要注意底数、真数的范围.解(1) 由logx4=得=4,所以x=16.(2) 由x=-3得x=,所以x=8.(3) 由(2x2-4x+1)=1得2x2-4x+1=x2-2,解得x=1或x=3.又因为x=1时,x2-2=-10, 2x2-4x+1=70,所以x=3.(4) 由=0得=1,解得x=-2.(5) 由log5log3(log2x)=0得log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=23,即x=8.题后反思解对数方程,除了将对数式化为指数式求解外,还要熟练运用对数的性质:1的对数为0,底数的对数为1.*【例4】求使对数式log(x-1)(3-x)有意义的x的取值范围.解由题意可得解得1x0, b1):log93=;log101000=3;4=-1;log91=0;log55=1;log3=-1;logb1=0;logbb=1.五、 课堂小结1. 对数的定义;对数式与指数式的互化;对数式的求值.2. 要在理解对数的概念的基础上,掌握对数式与指数式的互化,并会计算一些特殊的对数值.