1、2021年河南省洛阳市孟津第一高级中学高考数学调研试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合Ay|y2x，xN，Bx|x10，则AB（）A2，4，8B1，2，4，8C2，4，6，8D1，2，4，6，82i是虚数单位，复数z满足：，则（）A1iB1+iC1+iD1i3等差数列an中，a31，S714，则a7（）A13B7C5D34执行如图框图程序，输出n（）A1B2C3D45已知：，clog34，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDcba6已知：函数yf（x）的图象如图所示，则yf（x）可以是（）Af（x）esinxesinxBf（x）e
2、sinxesinxCf（x）sin（x）Df（x）cos（x）7大约于东汉初年成书的我国古代数学名著九章算术中，“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”实际是知道了球的体积V，利用球的体积，求其直径d的一个近似值的公式，而我们知道，若球的半径r，则球的体积，则在上述公式中，相当于的取值为（）A3BCD8一次乒乓球比赛中，采用5局3胜制，谁先胜3局谁赢，甲、乙在比赛中相遇，比赛前由抽签决定第一局由甲先发球，第二局由乙先发球，每局的先发球者必须交替进行，甲先发球局，甲获胜的概率为，乙先发球局，甲获胜的概率为，则甲3：0获胜的概率为（）ABCD9偶函数f（x
3、）关于点（1，0）对称，且当x0，1时，则f（2019）+f（2020）+f（2021）（）A0B2C4D610双曲线的左、右顶点分别为A、B，过A且斜率为的直线l与渐近线交于第一象限的N点，与y轴交于M点，若M点为AN点中点，则双曲线的离心率为（）ABC2D311已知0且为正数，且，函数f（x）2sin（x+）+1的图象如图所示，A、C，D是f（x）的图象与y1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间（a，b）上，f（x）有2020个零点，则ba的最大值为（）A2020BCD101212关于x的函数f（x）有4个零点，则实数k的取值范围为（）A（5，9）B5，9C（4，9）D
4、4，9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13点在抛物线ymx2（m0）上，则抛物线焦点为 14向量，则 15数列an和bn满足a1a22，an+2an+1an，an+bn1，2，7，bn1，4，5，则（b1a1）+（b2a2）+b2021a2021 16四面体PABC中，PA平面ABC，PAABBC1，D是平面ABC上异于AC的动点，且，设三棱锥PABD的外接球的体积为V，PC与BD所成角为，CD与平面PAD所成角为，在以下结论中，V是定值；V是变化的但有最大值；是定值；是定值；正确的结论序号为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。第17-21题为必考
5、题，第22、23题为选考题.（一）、必考题：共60分17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosAbcosC+ccosB（1）求A；（2）若M是BC的中点，求ABC的面积18如图，正四面体ABCD中，O是顶点A在底面内的射影，E是AO中点，平面BDE与棱AC交于M（1）求证：平面DEC平面BMD；（2）求二面角DBMC的余弦值19某印刷厂，印刷任务是由印张数来衡量（印张数单位：千张），印刷任务在180240千张的任务，由甲、乙两种印刷机器来完成，当任务的印张数不大于210千张时，由甲种印刷机器来完成，当任务的印张数大于210千张时，由乙种印刷机器来完成，资料显示1000个
6、印刷任务的印张数的频率分布直方图如右图，现有4个印刷任务，印张数还未知，只知道印张数在180240千张的任务，以印张数中的频率作为概率（1）求这4个印刷任务中恰有2个是由甲种印刷机器来完成概率；（2）求这4个印刷任务中，由乙种印刷机器来完成的多于由甲种印刷机器来完成的概率；（3）用X，Y分别表示这4个印刷任务中由甲、乙两个印刷机器来完成的个数，记|XY|，求随机变量：的分布列与数学期望E20F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，过F1的动直线l与椭圆C交于A，B，当B与上顶点（0，b）重合时，l的倾斜角为60，ABF2的周长为8（1）求椭圆C的方程；（2）A是A关于x轴的对称点，且F2AF2B
7、，求直线l的方程21函数（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）设g（x）exf（x），若恒成立，求a的取值范围（二）、选考题：共10分.请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知倾角为的直线l的极坐标方程为sin（）sin（0），圆C的参数方程为（是参数）（1）求直线l的普通方程；（2）若直线l与圆C相交于M、N两点，且，求的值选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，a2+b28（1）求证：a+b4；（2）求证：参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合A
8、y|y2x，xN，Bx|x10，则AB（）A2，4，8B1，2，4，8C2，4，6，8D1，2，4，6，8解：由题意，Ay|y2x，xN1，2，22，Bx|x10，故AB1，2，22，x|x101，2，4，8，故选：B2i是虚数单位，复数z满足：，则（）A1iB1+iC1+iD1i解：由，得zi（1i）1+i，故选：A3等差数列an中，a31，S714，则a7（）A13B7C5D3解：根据题意，设等差数列an的公差为d，若a31，S714，则有，解可得，故a7a1+6d5；故选：C4执行如图框图程序，输出n（）A1B2C3D4解：模拟程序的运行，可得：n1，n2，n3，即输出的n的值为3故选：
9、C5已知：，clog34，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDcba解：，ba，ac，故bac故选：B6已知：函数yf（x）的图象如图所示，则yf（x）可以是（）Af（x）esinxesinxBf（x）esinxesinxCf（x）sin（x）Df（x）cos（x）解：根据题意，用排除法分析：对于B，f（x）esinxesinx，在区间（0，1）上，sinx0，则有esinx1，必有f（x）esinxesinx0，不符合题意；对于C，f（x）sin（x），则f（x）sinx，在区间（0，1）上，f（x）0，不符合题意；对于D，f（x）cos（x）cosx，是偶函数，不符合题意
10、；故选：A7大约于东汉初年成书的我国古代数学名著九章算术中，“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”实际是知道了球的体积V，利用球的体积，求其直径d的一个近似值的公式，而我们知道，若球的半径r，则球的体积，则在上述公式中，相当于的取值为（）A3BCD解：，比较，相当于的取值为故选：C8一次乒乓球比赛中，采用5局3胜制，谁先胜3局谁赢，甲、乙在比赛中相遇，比赛前由抽签决定第一局由甲先发球，第二局由乙先发球，每局的先发球者必须交替进行，甲先发球局，甲获胜的概率为，乙先发球局，甲获胜的概率为，则甲3：0获胜的概率为（）ABCD解：根据题意，甲3：0获胜，即甲
11、连赢即前三局，第一局、第三局，甲先发球，甲获胜的概率都是，第二局，乙先发球，甲获胜的概率为，则甲3：0获胜的概率为；故选：C9偶函数f（x）关于点（1，0）对称，且当x0，1时，则f（2019）+f（2020）+f（2021）（）A0B2C4D6解：根据题意，偶函数f（x）关于点（1，0）对称，则f（x）f（x）且f（2x）f（x），则有f（2x）f（x），变形可得f（x+4）f（x+2）f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，又由当x0，1时，则f（2020）f（0）2，f（2021）f（1）0，f（2019）f（3）f（1）f（1）0，则有f（2019）+f（2020）+f（2021）2
12、；故选：B10双曲线的左、右顶点分别为A、B，过A且斜率为的直线l与渐近线交于第一象限的N点，与y轴交于M点，若M点为AN点中点，则双曲线的离心率为（）ABC2D3解：由M为AN中点，得BNy轴，可得：N（a，b），所以kAN，所以c2a28a2，所以e3故选：D11已知0且为正数，且，函数f（x）2sin（x+）+1的图象如图所示，A、C，D是f（x）的图象与y1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间（a，b）上，f（x）有2020个零点，则ba的最大值为（）A2020BCD1012解：由题意和图易知，y1是f（x）的对称轴，则|AC|为，则有，进而，又或6k4，因为03，
13、所以2，则T，相邻2个零点的距离有两种和，则当ba为1010个与1011个的和时最大为故选：C12关于x的函数f（x）有4个零点，则实数k的取值范围为（）A（5，9）B5，9C（4，9）D4，9解：当x0时，1x1，f（1x）1x+k，当x0时，f（x）1x+k+k6x+5，即f（x），当x0时，f（x）1；当x0时，f（x）1+，当k0时，（i）x0时，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增，至多有一个零点，（i）x0时，f（x）1+0恒成立，f（x）在（，0上单调递减，至多有一个零点，所以此时不符合题意，当k0时，（i）x0时，令f（x）0得，x，x时，f（x）0，f（x）单调递
14、减；x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）minf（）2k0，k4，又x0时，f（x）+，x+时，f（x）+，x0时，f（x）有2个零点，（ii）x0时，令f（x）0得，x10，x时，f（x）0，f（x）单调递减；x（1，0时，f（x）0，f（x）单调递增，x0时，f（x）有2个零点，x0时，f（x）也应有2个零点，f（0）k5，k5，且f（x）minf（1）260，k9，5k9，综上所述，实数k的取值范围为（5，9），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13点在抛物线ymx2（m0）上，则抛物线焦点为（0，1）解：，则抛物线标准方程为x24y，焦点为（0，
15、1）故答案为：（0，1）14向量，则5解：向量，求得m1，（1，3），（3，4），故答案为：515数列an和bn满足a1a22，an+2an+1an，an+bn1，2，7，bn1，4，5，则（b1a1）+（b2a2）+b2021a20216739解：由a1a22，得a3a2a10，a4a3a22，a4a52，a60，a7a82，易得：an+6an，bn+6bn且b1b24，b31，b4b55，b61，b7b84，a1+a2+a2021336（a1+a2+a6）+a1+a2+a50，又b1+b2+b2021336（b1+b2+b6）+b1+b2+b533620+196739，（b1a1）+（b2
16、a2）+b2021a20216739故答案为：673916四面体PABC中，PA平面ABC，PAABBC1，D是平面ABC上异于AC的动点，且，设三棱锥PABD的外接球的体积为V，PC与BD所成角为，CD与平面PAD所成角为，在以下结论中，V是定值；V是变化的但有最大值；是定值；是定值；正确的结论序号为 解：由，又，则D在ABC的外接圆上，三棱锥PABD的外接球是四棱锥PABCD的外接球，外接球直径定值，故对，错；因为PA平面ABC，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABC，又平面PAC平面ABCAC，当BDAC时，BD平面PAC，所以BDPC，即PC与BD所成的角，当D在ABC的外接圆上运动
17、时，PC与BD所成的角是变化的，故错；因为PA平面ABC，CD平面ABC，可得PACD，又ADCD，PAADA，所以CD平面PAD，所以CD与平面PAD所成的角，为定值，故对，故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。第17-21题为必考题，第22、23题为选考题.（一）、必考题：共60分17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosAbcosC+ccosB（1）求A；（2）若M是BC的中点，求ABC的面积解：（1）由2acosAbcosC+ccosB得2sinAcosAsinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosAsin（B+C）s
18、inA，所以cosA，即A；（2）如图，延长AM到D使AMDM，则四边形ABDC是平行四边形，DBb，则ADc+BD2cBDcosABD，即8+c+2c14，解得：，故ABC的面积18如图，正四面体ABCD中，O是顶点A在底面内的射影，E是AO中点，平面BDE与棱AC交于M（1）求证：平面DEC平面BMD；（2）求二面角DBMC的余弦值【解答】（1）证明：延长CO与BD交于N，设正四面体ABCD的棱长为a，则CNBD，所以，又O为正三角形BCD的中心，则OCOBOD，所以，由勾股定理可得，CE2+DE2CD2DE2+BE2DB2BE2+CE2BC2a2，故CE，DE，BE两两垂直，又DE，BE
19、平面BMD，DEBEE，所以CE平面BMD，因为CE平面DEC，故平面DEC平面BMD；（2）解：取O为坐标原点，、方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则，设平面ABC的法向量为，则，即，令z1，则，由（1）可知，平面BDM的一个法向量是，不妨取a6，可得，则，因为二面角DBMC的平面角为锐角，故二面角DBMC的余弦值为19某印刷厂，印刷任务是由印张数来衡量（印张数单位：千张），印刷任务在180240千张的任务，由甲、乙两种印刷机器来完成，当任务的印张数不大于210千张时，由甲种印刷机器来完成，当任务的印张数大于210千张时，由乙种印刷机器来完成，资料显示1000
20、个印刷任务的印张数的频率分布直方图如右图，现有4个印刷任务，印张数还未知，只知道印张数在180240千张的任务，以印张数中的频率作为概率（1）求这4个印刷任务中恰有2个是由甲种印刷机器来完成概率；（2）求这4个印刷任务中，由乙种印刷机器来完成的多于由甲种印刷机器来完成的概率；（3）用X，Y分别表示这4个印刷任务中由甲、乙两个印刷机器来完成的个数，记|XY|，求随机变量：的分布列与数学期望E解：（1）由直方图知，一个印刷任务由甲种印刷机器来完成的概率为：，则由乙种印刷机器来完成的概率为：则4个印刷任务中恰有2个是由甲种印刷机器来完成概率为：（2）满足题意的情况有：4个印刷任务都由乙种印刷机器完成
21、的任务，概率为，或由乙种印刷机器完成3个任务，而由甲种印刷机器完成1个任务，概率为：，则所求概率为：（3）由题意可得，|XY|0，2，4，当0，概率为：，当2，概率为：，当4，概率为：，故的分布列为： 0 2 4 P 故数学期望20F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，过F1的动直线l与椭圆C交于A，B，当B与上顶点（0，b）重合时，l的倾斜角为60，ABF2的周长为8（1）求椭圆C的方程；（2）A是A关于x轴的对称点，且F2AF2B，求直线l的方程解：（1）由直线l的斜率，又ABF2的周长AF1+BF1+BF2+AF2（AF1+AF2）+（BF1+BF2）2a+2a4a8，得：a2，c1，所
22、以椭圆C的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，则A（x1，y1），而F2（1，0），l：yk（x+1），由，得：，整理得：，将yk（x+1）代入，整理得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2120，可得：，代入（*）式，化简得：，则直线l的方程为：21函数（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）设g（x）exf（x），若恒成立，求a的取值范围解：（1），当a0时，x2，f（x）0，f（x）单调递增，函数f（x）无极值点；当a0时，而，故不是极值点，当时，f（x）0，此时函数单调递减，当时，f（x）0，此时函数单调递增，所以f（x）有唯一的极值点，综上可得，当a0
23、时，函数f（x）的极值点的个数为0；当a0时，f（x）的极值点的个数为1（2）恒成立a5（x+2）e1x2（x+2）ln（x+2）x2+4恒成立，设h（x）5（x+2）e1x2（x+2）ln（x+2）x2+4，有h（x）5（x+1）e1x2ln（x+2）2（x+1）（x+1）（5e1x+2）2ln（x+2），所以h（1）0，当2x1时，（x+1）（5e1x+2）0，2ln（x+2）0，h（x）0，h（x）单调递增；当x1时，（x+1）（5e1x+2）0，2ln（x+2）0，h（x）0，h（x）单调递减，所以当x1时，h（x）取得最大值，由题意ah（1）8，所以a的取值范围为8，+）（二）、选考
24、题：共10分.请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知倾角为的直线l的极坐标方程为sin（）sin（0），圆C的参数方程为（是参数）（1）求直线l的普通方程；（2）若直线l与圆C相交于M、N两点，且，求的值解：（1）由于sin（）sin，整理得：sincoscossinsin，根据：，转换为普通方程为：xsinycossin0（2）由圆C的参数方程知，圆心C（1，2），半径r2，弦心距：，则，则或选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，a2+b28（1）求证：a+b4；（2）求证：【解答】证明：（1）（a+b）2a2+2ab+b2a2+a2+b2+b22（a2+b2）16，当且仅当ab2时，等号成立a+b4（2）a0，b0，a2+b28，由（当且仅当时，等号成立）
