1、专题能力训练11等差数列与等比数列专题能力训练第28页一、能力突破训练1.在等差数列an中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()A.20B.-20C.10D.-10答案:D解析:因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.2.已知数列an为等比数列,且a8a9a10=-a132=-1 000,则a10a12=()A.100B.-100C.10010D.-10010答案:C解析:an为等比数列,a8a9a10=-a132=a93=-1000,a9=-10,a132=1000.又a10a12=a102q20
2、,a10a12=|a9a13|=10010.3.(2019全国,理5)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2答案:C解析:设等比数列an的公比为q(q0),则a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得a1=1,q=2,所以a3=a1q2=122=4.故选C.4.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0答案:B解析:设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1
3、+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-53d20,且a1=-53d.dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d20,a80,所以a3a8a3+a822=822=16,当且仅当a3=a8=4时取等号.7.中国古代数学专著九章算术中有这样一题:今有男子善走,日增等里,九日走1 260里,第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的里数为(注:里是我国古代计量单位,1里=500米).答案:120解析:男子每天走的里数构成等差数列,设为an,其公差为d,前n项和为Sn.根据题意可知,
4、S9=1260,a1+a4+a7=390,(方法一)S9=9(a1+a9)2=9a5=1260,a5=140.又a1+a4+a7=3a4=390,a4=130,d=a5-a4=10,a3=a4-d=120.(方法二)由题意,得S9=1260,a1+a4+a7=390,9a1+982d=1260,a1+a1+3d+a1+6d=390,解得a1=100,d=10,所以a3=a1+2d=120.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且1x,1y,1z成等差数列,则xz+zx=.答案:3415解析:由题意知(12y)2=9x15z,2y=1x+1z,解得xz=122915y2=16
5、15y2,x+z=3215y,从而xz+zx=x2+z2xz=(x+z)2-2xzxz=(x+z)2xz-2=32152y21615y2-2=3415.9.已知Sn为数列an的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(nN*).(1)求证:an-2n为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.答案：(1)证明由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-32n=3(an-2n).又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=30.故an-2n为等比数列.(2)解由(1)可知an-2n=
6、3n-1(a1-2)=3n,an=2n+3n,Sn=2(1-2n)1-2+3(1-3n)1-3=2n+1+3n+12-72.10.(2020全国,理17)设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.解:(1)设an的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故an的公比为-2.(2)记Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-
7、1+n(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1-(-2)n3-n(-2)n.所以Sn=19-(3n+1)(-2)n9.11.已知数列an是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+a2n=t(a12+a22+an2),nN*,求实数t的值;(2)若在1a1与1a4之间插入k个数b1,b2,bk,使得1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差数列,求k的值.解：设等比数列an的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)a1+a2+a2n=t(a12+a22+an2),a1(1-q2n)1-q=ta12(1-q2n)1-q
8、2,即1-22n1-2=t1-22n1-4对nN*都成立,t=3.(2)1a1=1,1a4=18,1a5=116,且1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差数列,公差d=1a5-1a4=-116,且1a4-1a1=(k+1)d,即18-1=(k+1)-116,解得k=13.二、思维提升训练12.(2020全国,理4)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板
9、(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案:C解析:由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为an为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+272629=3402.故选C.13.若数列an为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=1a1a
10、2+1a2a3+1anan+1等于()A.1-14nB.231-14nC.1-12nD.231-12n答案:B解析:因为an=12n-1=2n-1,所以anan+1=2n-12n=22n-1=24n-1,所以1anan+1=1214n-1.所以1anan+1是等比数列.故Tn=1a1a2+1a2a3+1anan+1=1211-14n1-14=231-14n.14.已知等比数列an的首项为43,公比为-13,其前n项和为Sn.若ASn-1SnB对nN*恒成立,则B-A的最小值为.答案:5972解析:易得Sn=1-13n89,11,43,因为y=Sn-1Sn在区间89,43上单调递增(y0),所以
11、y-1772,712A,B,因此B-A的最小值为712-1772=5972.15.无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和.若对任意nN*,Sn2,3,则k的最大值为.答案:4解析:要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,所以最多由4个不同的数组成.16.已知数列an,bn满足:an+1+1=2an+n,bn-an=n,b1=2.(1)证明数列bn是等比数列,并求数列bn的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn.解：(1)因为bn-an=n,所以bn=an+n.因为an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),即bn+1=2bn
12、.又b1=2,所以bn是首项为2,公比为2的等比数列,bn=22n-1=2n.(2)由(1)可得an=bn-n=2n-n,所以Sn=(21+22+23+2n)-(1+2+3+n)=2(1-2n)1-2-n(1+n)2=2n+1-2-n2+n2.17.(2019天津,理19)设an是等差数列,bn是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列cn满足c1=1,cn=1,2kn2k+1,bk,n=2k,其中kN*.求数列a2n(c2n-1)的通项公式;求i=12naici(nN*).解：(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn
13、的公比为q.依题意得6q=6+2d,6q2=12+4d,解得d=3,q=2,故an=4+(n-1)3=3n+1,bn=62n-1=32n.所以,an的通项公式为an=3n+1,bn的通项公式为bn=32n.(2)a2n(c2n-1)=a2n(bn-1)=(32n+1)(32n-1)=94n-1.所以,数列a2n(c2n-1)的通项公式为a2n(c2n-1)=94n-1.i=12naici=i=12nai+ai(ci-1)=i=12nai+i=1na2i(c2i-1)=2n4+2n(2n-1)23+i=1n(94i-1)=(322n-1+52n-1)+94(1-4n)1-4-n=2722n-1+52n-1-n-12(nN*).
