1、第1讲等差数列、等比数列一、填空题1(2014南京二模)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则_.解析设等差数列an的公差为d，则a12d，所以.答案2(2013泰州期中)已知等比数列an为递增数列，且a3a73，a2a82，则_.解析根据等比数列的性质建立方程组求解因为数列an是递增等比数列，所以a2a8a3a72，又a3a73，且a3a7，解得a31，a72，所以q42，故q2.答案3(2014泰州期末)设等差数列an的前n项和为Sn，若a2a4a6a8120，且，则S9的值为_解析将题中等式通分得，所以a2a4a6a82(a2a8)14，所以a2a87，S9.答案4数列an为正项等比数列
2、，若a21，且anan16an1(nN*，n2)，则此数列的前4项和S4_.解析设an的公比为q(q0)，当n2时，a2a36a1，从而1q，q2或q3(舍去)，a1，代入可有S4.答案5(2014南京学情调研)在等比数列an中，若a1，a44，则|a1|a2|a6|_.解析求出等比数列的通项公式，再求和由等比数列an中，若a1，a44，得公比为2，所以an(2)n1，|an|2n1，所以|a1|a2|a6|(122225).答案6(2012江苏卷改编)各项均为正数的等比数列an满足a1a74，a68，若函数f(x)a1xa2x2a3x3a10x10的导数为f(x)，则f_.解析因为各项均为正
3、数的等比数列an满足a1a74，a68，所以a42，q2，故an2n3，又f(x)a12a2x3a3x210a10x9，所以f22222322102222.答案7(2014南京模拟)已知数列an满足anan1an2(n3，nN*)，它的前n项和为Sn.若S131，则a1的值为_解析由数列an满足anan1an2(n3，nN*)得an1anan1an2(n3，nN*)，所以an4an1an2(n3，nN*)，数列an的周期是6.所以S132(a1a2a3a4a5a6)a12(a1a2a2a1a4a5a5a4)a14(a2a5)a14(a2a2)a1a1，又S131，所以a11.答案18(2014
4、南通、扬州、泰州、连云港、淮安模拟)设数列an为等差数列，数列bn为等比数列若a1a2，b1b2，且bia(i1,2,3)，则数列bn的公比为_解析由数列an为等差数列，且a1a2，b1b2，bia(i1,2,3)，所以aa(a1a2)(a1a2)0，则a1a20.又a，a，a是等比数列bn的前3项，所以aaa，则aa1a30(若aa1a3，则a1，a2，a3成等比数列，而a1，a2，a3又成等差数列，则a1a2a3，与条件a1a2矛盾)，所以a10，a30，又a1a20，则a20.设等差数列an的公差为d，d0，则aa1a3即为a(a2d)(a2d)ad2，所以da2，故ana2(n2)d(
5、n21)a2，则等比数列bn的公比q32.答案32二、解答题9已知公差不为零的等差数列an的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列(1)求通项公式an；(2)设bn2an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由题意知解得所以an3n5(nN*)(2)bn2an23n58n1，数列bn是首项为，公比为8的等比数列，所以Sn.10已知数列an是首项为，公比为的等比数列，设bn15log3ant，常数tN*.(1)求证：bn为等差数列；(2)设数列cn满足cnanbn，是否存在正整数k，使ck，ck1，ck2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由(1)证明an，b
6、n1bn15log35，bn是首项为b1t5，公差为5的等差数列若cckck2，同理可得(x5)2x(x10)，显然无解；若cckck1，同理可得(x10)2x(x5)，方程无整数根综上所述，存在k1，t5适合题意11(2013南通调研)已知数列an成等比数列，且an0.(1)若a2a18，a3m.当m48时，求数列an的通项公式；若数列an是唯一的，求m的值；(2)若a2ka2k1ak1(akak1a1)8，kN*，求a2k1a2k2a3k的最小值解设数列an公比为q，则由题意，得q0.(1)由a2a18，a3m48，得解之，得或所以数列an的通项公式为an8(2)(3)n1，或an8(2)(3)n1.要使满足条件的数列an是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2mqm0有唯一解由m232m0，a3m0，所以m32，此时q2.经检验，当m32时，数列an唯一，其通项公式是an2n2.(2)由a2ka2k1ak1(akak1a1)8，得a1(qk1)(qk1qk21)8，且q1.a2k1a2k2a3ka1q2k(qk1qk21)832，当且仅当qk1，即q，a18(1)时，a2k1a2k2a3k的最小值为32.