1、（2）空间向量与立体几何（B卷）2021-2022学年高二数学人教A版（2019）1.已知空间向量a，b，且，则一定共线的三点是( )A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，DD.A，C，D2.如图所示，在平行六面体中，M是的中点，点N是上的点，且，用a，b，c表示向量的结果是( )A.B.C.D.3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60.若M是PC的中点，则( )A.B.C.D.4.在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当AM，BN均最短时，( )A.B.C.D.5.在正方体中，向量与向量的夹角是( )A.150B.13
2、5C.45D.306.若向量，且a与b的夹角的余弦值为，则 ( )A.3B.C.D.3或7.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（A，B，C，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面PAB的距离d等于( )A.B.C.2D.58.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为( )A.B.C.D.9.（多选）设是任意的非零空间向量，且它们相互不共线，则下列结论中正确的有( )A.B.C.不与垂直D.10.（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为
3、端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是( )A.B.C.向量与的夹角是60D. 与AC所成角的余弦值为11.已知空间向量满足，则的值为_.12.在棱长为2的正方体中，M，N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为_.13.如图，在直三棱柱中，D为上一点.若二面角的大小为30，则AD的长为_.14.在长方体中，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为_.15.如图是一个半圆柱与多面体构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且，P为上的动点(不与，重合).（1）证明：平面.（2）若四边形为正方形，且，求二面角的余弦值.答案以及解析1.答案：A解析：
4、，A，B，D三点共线，故选A.2.答案：D解析：由题意可得，.，故选D.3.答案：A解析：记，因为，所以，.又因为，所以，.易得，所以，所以.故选A.4.答案：A解析：由共面向量定理和共线向量基本定理可知，平面BCD，直线AC，当AM，BN均最短时，平面BCD， ，此时M为的中心，N为AC的中点，连接MC，则.平面BCD，平面BCD，.又，.故选A.5.答案：B解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，向量与向量的夹角是135.6.答案：A解析：因为，且a与b的夹角的余弦值为，所以，解得或，又，所以，故选A.7.答案：B解析：以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.
5、则，设平面PAB的方程为，将A，B，P3点的坐标代入计算得，所以方程可化为，即，所以.8.答案：B解析：取AC的中点O，连接OP，OB，平面平面ABC，平面平面 ，平面ABC，又，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，是等腰直角三角形，为等边三角形，.异面直线AC与PD所成角的余弦值为.故选B.9.答案：BD解析：根据空间向量数量积的定义及性质，可知和是实数，而与不共线，故与一定不相等，故A错误；因为，所以当，且或时，即与垂直，故C错误；易知BD正确.故选BD.10.答案：AB解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，所以，则，所以A正确； ，所以B正确；显然
6、为等边三角形，则.因为，且向量与的夹角是120，所以与夹角是120，所以C不正确；因为，所以，所以，所以D不正确.故选AB.11.答案：解析：，.12.答案：解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，平面ABCD的一个法向量为，所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.13.答案：解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则，.设，则点D的坐标为，.设平面的法向量为，则令，得.又平面的一个法向量为，记为n，则由，解得（负值舍去），故.14.答案：解析：如图，以，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，由，得，设平面的法向量为，由得取，则，点Q到平面的距离.15.答案：（1）见解析（2）解析：（1）在半圆柱中，平面，平面，所以.因为是上底面对应圆的直径，所以.因为，平面，平面，所以平面.（2）根据题意，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，所以，.易知为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则即令，则，所以为平面的一个法向量.所以.由图可知二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为.