1、中档解答题规范练(四) 时间:50分钟 分值:60分1.已知等比数列an的各项均为正数,a1=1,公比为q;等差数列bn中,b1=3,且bn的前n项和为Sn,a3+S3=27,q=.(1)求an与bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn=,求cn的前n项和Tn.2.如图,已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120.(1)若c=1,求ABC面积的最大值;(2)若a=2b,求tan A.3.如图所示的几何QPABCD为一简单组合体,在底面ABCD中,DAB=60,ADDC,ABBC.QD平面ABCD,PAQD,PA=1,AD=AB=QD=2.(1)求证:平面PAB平面QBC;(2
2、)求组合体QPABCD的体积.4.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”?(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现从这5名学生中随机抽取3人,求至多有一人喜欢甜品的概率.附:K2=.P(K2k0)0.1000.0500.010k02.7063.8416.6355.(二选一)()选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数
3、方程为,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为,半径为2,直线l与圆C交于M,N两点.(1)求圆C的极坐标方程;(2)当变化时,求弦长|MN|的取值范围. ()选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|a-3x|-|2+x|.(1)若a=2,解不等式f(x)3;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)1-a+2|2+x|成立,求实数a的取值范围.答案全解全析1.解析(1)设数列bn的公差为d,a3+S3=27,q=,q2+33+d=27,q=,联立方程可求得q=3,d=3,an=3n-1,bn=3n.(2)由(1)得:Sn=,cn=-,Tn=1-+-+-+-
4、=1-=.2.解析(1)由余弦定理得a2+b2-2abcos 120=1,a2+b2+ab=12ab+ab=3ab,当且仅当a=b时取等号,解得ab,故SABC=absin C=ab,即ABC面积的最大值为.(2)a=2b,由正弦定理得sin A=2sin B,又C=120,A+B=60,sin A=2sin(60-A)=cos A-sin A,cos A=2sin A,tan A=.3.解析(1)证明:因为QD平面ABCD,PAQD,所以PA平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PABC,又因为ABBC,且ABPA=A,所以BC平面PAB,又BC平面QBC,所以平面PAB平面QBC.(2)连
5、接BD.平面QDB将几何体分成四棱锥B-PADQ和三棱锥Q-BDC两部分,过B作BOAD,因为PA平面ABCD,BO平面ABCD,所以PABO,又ADOB,PAAD=A,所以BO平面PADQ,即BO为四棱锥B-APQD的高,因为BO=ABsinBAD=,S四边形PADQ=3,所以VB-PADQ=BDS四边形APDQ=,因为QD平面ABCD,且QD=2,又BCD为顶角等于120的等腰三角形,BD=2,故可求得SBDC=,所以VQ-BDC=SBDCQD=,所以组合体QPABCD的体积为+=.4.解析(1)将22列联表中的数据代入公式,计算得K2=4.762.4.7623.841,有95%的把握认为
6、“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)这5名数学系学生中,2名喜欢甜品的学生记为A、B,其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e.则从这5名学生中随机抽取3人的结果所组成的基本事件为ABc,ABd,ABe,Acd,Ace,Ade,Bcd,Bce,Bde,cde,共10种.3人中至多有一人喜欢甜品的基本事件是Acd,Ace,Ade,Bcd,Bce,Bde,cde,共7种.至多有一人喜欢甜品的概率P=.5.()解析(1)由已知,得圆C的圆心的直角坐标为(1,),又圆C的半径为2,圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4,即x2+y2-2x-2y=0,x=cos ,y=s
7、in ,2-2cos -2sin =0,故圆C的极坐标方程为=4cos.(2)由(1)知,圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程中得,(2+tcos )2+(+tsin )2-2(2+tcos )-2(+tsin )=0,整理得,t2+2tcos -3=0,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2cos ,t1t2=-3,|MN|=|t1-t2|=,cos ,|MN|,4.()解析(1)当a=2时,不等式f(x)3为|2-3x|-|2+x|3,则或或解得-x,所以不等式f(x)3的解集为.(2)不等式f(x)1-a+2|2+x|等价于|a-3x|-3|2+x|1-a,即|3x-a|-|3x+6|1-a,由绝对值不等式的性质知|3x-a|-|3x+6|(3x-a)-(3x+6)|=|a+6|.若存在实数a,使得不等式f(x)1-a+2|2+x|成立,则|a+6|1-a,解得a-,所以实数a的取值范围是.
