1、高考资源网（） 您身边的高考专家6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性新版课程标准学业水平要求1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间1.借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系.(数学抽象)2.能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间.(数学运算)3.能利用导数研究与函数单调性相关的问题.(数学运算、逻辑推理)必备知识素养奠基1.函数f(x)的单调性与导函数f(x)正负之间的关系在区间(a,b)内导数正负曲线状态单调性f(x)0曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段
2、上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态增函数f(x)0,则f(x)在(a,b)上是增函数”,反之,若f(x)在(a,b)上是增函数,能推出在(a,b)上恒有f(x)0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是增函数,则在(a,b)上恒有f(x)0.(2)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f(x)0,则f(x)在(a,b)上是减函数”,反之,若f(x)在(a,b)上是减函数,能推出在(a,b)上恒有f(x)0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是减函数,则在(a,b)上恒有f(x)0.(3)在(a,b)上存在f(x)恒等于0的函数吗?提示:存在,这样的函数是常数函数f(x)=C
3、.2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一个函数f在某一范围内导数的绝对值为,则函数值的变化函数的图象越大在这一范围内变化得较快比较“陡峭”(向上或向下)越小在这一范围内变化得较慢比较“平缓”为什么|f(x)|越大,函数递增(或递减)越快,其图象越陡峭?提示:|f(x)|越大,说明函数的瞬时变化率越大,即函数值的变化越快,其图象越陡峭.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)因为=-0,所以函数y=x-在(-,+)上单调递增.()(3)函数f(x)=x2+2x-3的导数f(x)=2x+2是增函数,所以函数f(x)=x2+2x-3在(-,+)上是增函数.()提示:(1).因为函数y=的定义
4、域为(-,0)(0,+),由=-0恒成立,所以函数y=x-在(-,0)和(0,+)上是增函数.(3).因为f(x)=2x+2,所以当x(-,-1)时,f(x)0,即函数f(x)=x2+2x-3在x(-,-1)上是减函数,在x(-1,+)上是增函数.2.函数y=x-ln x的单调递减区间为()A.(-1,1B.(0,+)C.1,+)D.(0,1【解析】选D.函数的定义域为(0,+),令y=1-=0,解得x(0,1,所以函数的单调递减区间为(0,1.关键能力素养形成类型一导数与函数图象的关系【典例】1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图
5、象是()2.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能是()3.函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式f(x)0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f(x)是增函数,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加得越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,f(x)是减函数,故y=f(x)在区间(0,1)上增加得越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.2.选D.从函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-,0)上是减函数,f(x)0;在区间(x1,x2)上是减函数
6、,f(x)0.结合选项可知,只有D项满足.3.函数y=f(x)在区间和区间(2,3)上是减函数,所以在区间和区间(2,3)上,y=f(x)0,所以f(x)0,则y=f(x)在(a,b)上是增函数;如果f(x)0且越来越大f(x)0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f(x)0且越来越小,绝对值越来越大f(x)0且越来越大,绝对值越来越小【习练破】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选B.由函数y=f(x)的图象及其导数的意义可知,当x0,当x=0时,f(x)=0,当x0时,f(x)0.【加练固】设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x
7、)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是()【解析】选C.由y=f(x)的图象可知,当x2时,f(x)0;当0x2时,f(x)0,所以函数y=f(x)在(-,0)和(2,+)上为增函数,在(0,2)上为减函数.类型二利用导数求函数的单调区间【典例】1.(2020南平高二检测)函数f(x)=xex+1的单调递减区间是()A.(-,1)B.(1,+)C.(-,-1)D.(-1,+)2.(2020金安高二检测)函数f(x)=x-2sin x+1在(0,)上的单调递增区间是()A.B.C.D.【思维引】1.求导,解使f(x)0的区间.【解析】1.选C.f(x)=(x+1)ex,当x-1时,f(x)
8、0,可得x0,函数在解集所表示定义域内为增函数.(4)解不等式f(x)0时,f(x)=-xex0,函数单调递减.即函数的单调递减区间是(0,+).2.函数f(x)=2x2-ln x,x(0,+)的单调递减区间为_.【解析】由题意得f(x)=4x-,令f(x)=4x-0时,f(x)0,函数在R上单调递增;当a0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是5,+).方法二:由题意得f(x)=-x3+x2+tx+t,则f(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f(x)0.因为f(x)的图象是开口向下的抛物线,所以当且仅当f(1)=t-10,且f(-
9、1)=t-50时,f(x)在(-1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是5,+).【类题通】1.利用导数法解决参数范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f(x)0(或f(x)0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.(2)先令f(x)0(或f(x)0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.2.恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.【习练破】1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)上
10、是减函数,则实数a的取值范围是()A.a1B.a=1C.a1D.0a1【解析】选A.由已知得f(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)上是减函数,所以不等式3x2-2ax-10在 (0,1)内恒成立,即f(0)0且f(1)0,解得a1.2.若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+)上是增函数,则实数m的取值范围是_.【解析】f(x)=(mx-1)ex+(mx-1)(ex)=mex+(mx-1)ex=ex(mx+m-1).由于f(x)在(0,+)上是增函数,所以f(x)0,即mx+m-10对x(0,+)恒成立,即m对x(0,+)恒成立,又当x(0,+)时,1,故m1.答案:1,+)课
11、堂检测素养达标1.下列函数中,在(0,+)上为增函数的是()A.y=sin 2xB.y=xexC.y=x3-xD.y=-x+ln(1+x)【解析】选B.y=xex,则y=ex+xex=ex(1+x)在(0,+)上恒大于0.2.若函数f(x)=-cos x+ax为增函数,则实数a的取值范围为()A.-1,+)B.1,+)C.(-1,+)D.(1,+)【解析】选B.由题意可得,f(x)=sin x+a0恒成立,故a-sin x恒成立,因为-1-sin x1,所以a1.3.如果函数f(x)=2x3+ax2+1(a0)在区间(-,0)和(2,+)上是增函数,且在区间(0,2)上是减函数,则常数a的值为_.【解析】f(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax0时,解得-x0,不合题意;当a0时,解得0x0的解集为()A.(-2,1)B.(-2,-1)(-1,1)C.(1,2)D.(-,-1)(0,).【解析】选B.结合导数与单调性关系可知,-2x-1,1x2时,函数单调递减,此时f(x)0,当-1x0,由不等式0可得,(x+1)f(x)0,解得,-1x1或-2x-1,故不等式的解集为(-2,-1)(-1,1).- 14 - 版权所有高考资源网