1、2015年浙江省杭州市余杭区高考数学仿真试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a，bR，则“a0，b0”是“a2+b22ab的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件2向量，则（）A 与的夹角为30B 与的夹角为y=axa（a0，a1）C D 3等差数列an的前n项和为Sn，已知a5=3，S5=10，则a13的值是（）A 1B 3C 5D 74设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是（）A a，b，B a，b，C a，b，D a，b，5设函数f（x）=sin
2、（x+）+cos（x+）的最小正周期为，且f（x）=f（x），则（）A f（x）在单调递减B f（x）在（，）单调递减C f（x）在（0，）单调递增D f（x）在（，）单调递增6函数的y=f（x）图象如图1所示，则函数y=的图象大致是（）A B C D 7双曲线=1（a0，b0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）A B C 2D 8已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A B C D 二、填空题：本大题7小题，9-12题每题6分，13-15每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上9已知全集
3、U=R，集合A=x|x|1，B=x|x，则AB=，AB=，（UB）A=10已知圆x2+y2=10，直线xy1=0与圆交于B，C两点，则线段BC的中点坐标为，线段BC的长度为11某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm212设x、y满足约束条件目标函数z=2x+y的最大值是，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为10，则+的最小值为13在数列an中，Sn为它的前n项和，已知a2=4，a3=15，且数列an+n是等比数列，则Sn=14设函数和，已知x4，0时恒有f（x）g（x），则实数a的取值范围为15设非零向量与的夹角是，且，则（tR）的最
4、小值是三解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=60（）若a=3，B=，求c的值；（）若f（A）=sinA（cosAsinA），求f（A）的最大值17如图，四棱锥EABCD中，面EBA面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，EA=EB，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC=2（）求证：ABED；（）求直线CE与面DBE的所成角的正弦值18已知数列an，Sn是其前n项的且满足（I）求证：数列为等比数列；（）记（1）nSn的前n项和为Tn，求Tn的表达式19已知函数f（x）=x|xa|+1（xR）（）当
5、a=1时，求使f（x）=x成立的x的值；（）当a（0，3），求函数y=f（x）在x1，2上的最大值20已知抛物线x2=4y，圆C：x2+（y2）2=4，M（x0，y0），（x00，y00）为抛物线上的动点（）若y0=4，求过点M的圆的切线方程；（）若y04，求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值2015年浙江省杭州市余杭区高考数学仿真试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a，bR，则“a0，b0”是“a2+b22ab的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分
6、也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可解答：解：由a2+b22ab得：（ab）20，a，b是R恒成立，推不出a0，b0，不是必要条件，由“a0，b0”能推出“a2+b22ab，是充分条件，故“a0，b0”是“a2+b22ab的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题2向量，则（）A 与的夹角为30B 与的夹角为y=axa（a0，a1）C D 考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：直接利用向量数量积为0得答案解答：解：，故选：C点评：本题考查平面向量数量积的
7、坐标运算，是基础的计算题3等差数列an的前n项和为Sn，已知a5=3，S5=10，则a13的值是（）A 1B 3C 5D 7考点：等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：根据条件建立方程组求出首项和公差即可解答：解：a5=3，S5=10，解得a1=1，d=，则a13=a1+12d=1+12=1+6=7，故选：D点评：本题主要考查等差数列项的计算，根据条件求出数列的首项和公差是解决本题的关键4设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是（）A a，b，B a，b，C a，b，D a，b，考点：空间中直线与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：可通过线面垂直的性质
8、定理，判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质，判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义，即可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D解答：解：A若，a，a，b，b，则ab，故A错；B若a，则a，又b，则ab，故B错；C若b，则b，又a，则ab，故C正确；D若，b，设=c，由线面平行的性质得，bc，若ac，则ab，故D错故选C点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面、面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是迅速解题的关键5设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）的最小正周期为，且f（x）=f（x），则（）A f（x）在单调递减B f（x）在（，）单调
9、递减C f（x）在（0，）单调递增D f（x）在（，）单调递增考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与的关系确定出的值，根据函数的偶函数性质确定出的值，再对各个选项进行考查筛选解答：解：由于f（x）=sin（x+）+cos（x+）=，由于该函数的最小正周期为=，得出=2，又根据f（x）=f（x），得+=+k（kZ），以及|，得出=因此，f（x）=cos2x，若x，则2x（0，），从而f（x）在单调递减，若x（，），则2x（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确故选A点
10、评：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握属于三角中的基本题型6函数的y=f（x）图象如图1所示，则函数y=的图象大致是（）A B C D 考点：对数函数的图像与性质专题：综合题分析：本题考查的知识点是对数函数的性质，及复合函数单调性的确定，由对数函数的性质得，外函数y=log0.5u的底数00.51，故在其定义域上为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，不难给出复合函数的单调性，然后对答案逐一进行分析即可解答：解：0.5（0，1），log0.5x是减函数而
11、f（x）在（0，1上是减函数，在1，2）上是增函数，故log0.5f（x）在（0，1上是增函数，而在1，2）上是减函数分析四个图象，只有C答案符合要求故选C点评：复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则：“同增”的意思是：g（x），h（x）在定义域是同增函数或者都是减函数时，f（x）是增函数；“异减”的意思是：g（x），h（x）在定义域是一个增函数另一个减函数的时候，f（x）是减函数7双曲线=1（a0，b0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）A B C 2D 考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛
12、物线和双曲线有相同的焦点求得c=2，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，运用双曲线的定义求得2a=2，然后求得离心率e解答：解：抛物线y2=8x焦点F（2，0），准线方程为x=2，设P（m，n），由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，解得m=3，则n2=24，即有P（3，2），可得左焦点F为（2，0），由双曲线的定义可得2a=|PF|PF|=75=2，即a=1，即有e=2故选C点评：本题主要考查了双曲线，抛物线的定义和简单性质，主要考查了离心率的求法，解答关键是利用抛物线和双曲线的定义8已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A B C D 考点：分段函数
13、的应用专题：函数的性质及应用分析：求出函数f（x）=sin（）1，（x0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论解答：解：若x0，则x0，x0时，f（x）=sin（）1，f（x）=sin（）1=sin（）1，则若f（x）=sin（）1，（x0）关于y轴对称，则f（x）=sin（）1=f（x），即y=sin（）1，x0，设g（x）=sin（）1，x0作出函数g（x）的图象，要使y=sin（）1，x0与f（x）=logax，x0的图象至少有3个交点，则0a1且满足g（5）f（5），即2loga5，即loga5，则5，解得0a，故选：A点评：本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y对称的图
14、象，利用数形结合的思想是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：本大题7小题，9-12题每题6分，13-15每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上9已知全集U=R，集合A=x|x|1，B=x|x，则AB=x|x1，AB=x|x1，（UB）A=x|x|1x考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：根据集合的基本运算进行计算即可解答：解：A=x|x|1=x|1x1，UB=x|x，则AB=x|x1，AB=x|x1，（UB）A=x|1x；故答案为：x|x1，x|x1，x|x|1x；点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础10已知圆x2+y2=10，直线xy1=0与圆交于B，C两点，则
15、线段BC的中点坐标为（，），线段BC的长度为考点：直线与圆相交的性质专题：计算题；直线与圆分析：利用圆心到直线的距离与半径半弦长满足的勾股定理，求出弦长即可解答：解：过圆心（0，0），与直线xy1=0垂直的直线方程为x+y=0，联立，可得线段BC的中点坐标为（，）；圆的圆心（0，0），到直线BC的距离d=，所以线段BC的长度为2=故答案为：（，）；点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力11某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图可得该几何
16、体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案解答：解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V=cm3，S=+=故答案为：；点评：本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键12设x、y满足约束条件目标函数z=2x+y的最大值是14，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为10，则+的最小值为5考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，由z=2x+y得：y=2x+z，显然y=2x+z过A点时，z最大，将A（4，6）
17、代入求出即可；利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式的性质求出+的最小值即可解答：解：由z=ax+by（a0，b0）得y=x+，作出可行域如图：由z=2x+y得：y=2x+z，显然y=2x+z过A点时，z最大，由，解得，即A（4，6），z最大值=24+6=14，a0，b0，直线y=x+的斜率为负，且截距最大时，z也最大平移直线y=x+，由图象可知当y=x+经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大此时z=4a+6b=10，即2a+3b5=0，即+=1，则+=（+）（+）=+2=+=5，当且仅当=，即a=b=1时，取等号，故+的最小值为5，故答案为：14，5点评：本题主要考查线性
18、规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法13在数列an中，Sn为它的前n项和，已知a2=4，a3=15，且数列an+n是等比数列，则Sn=3n考点：数列的求和；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：根据an+n是等比数列，求出an+n的公比，然后求出数列an的通项公式，利用分组求和法进行求解，即可得到结论解答：解：an+n是等比数列，数列an+n的公比q=，则an+n的通项公式为an+n=（a2+2）3n2=63n2=23n1，则an=23n1n，则Sn=3n，故答案为：3n点评：本题主要考查数列和的计算，根据等比数列的定义求出等比数列的通项公式，利用
19、分组求和法是解决本题的关键14设函数和，已知x4，0时恒有f（x）g（x），则实数a的取值范围为（，考点：函数恒成立问题专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：已知x4，0时恒有f（x）g（x），对其进行移项，利用常数分离法，可以得出a小于等于一个新函数，求出这个新函数的最小值即可解答：解：函数f（x）=a和，已知x4，0时恒有f（x）g（x），ax+1，a+x+1，令h（x）=+x+1，求出h（x）的最小值即可，0，（4x0），y=x+1在4，0上为增函数，当x=4时，h（x）取得最小值，hmin（x）=h（4）=+1=，a故答案为：（，点评：此题考查函数的恒成立问题，解决此题的关键
20、是利用常数分离法，分离出a，转化为求函数的最值问题15设非零向量与的夹角是，且，则（tR）的最小值是考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：对两边平方，便可得到，从而得到，这样根据二次函数的最值公式即可得到的最小值，从而得出的最小值解答：解：由条件：；=；的最小值为故答案为：点评：考查数量积的运算及其计算公式，以及二次函数的最值公式三解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=60（）若a=3，B=，求c的值；（）若f（A）=sinA（cosAsinA），求f（A）的最大值考点：三角函数中的恒等
21、变换应用；余弦定理专题：计算题；解三角形分析：（）由余弦定理知b2=a2+c22accosB，代入a=3，B=60，从而有：c23c+2=0，即可解得：c=1或2；（）由二倍角公式得：，整理有，即可求f（A）的最大值解答：解：（）由b2=a2+c22accosB，a=3，B=60可解得：c23c+2=0可解得：c=1或2；（）由二倍角公式得：，当时，f（A）最大值为点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理的应用，属于基本知识的考查17如图，四棱锥EABCD中，面EBA面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，EA=EB，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC=2（）求证：ABED
22、；（）求直线CE与面DBE的所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：（）作EMAB，交AB于M，连结DM，由已知得四边形BCDM是边长为1的正方形，由此能证明ABED（）由已知得BC面ABE，直线CE与面ABE所成角为CEB，由此能求出直线CE与面ABE的所成角的正弦值解答：（）证明：作EMAB，交AB于M，连结DM，ABE为等腰直角三角形，M为AB的中点，AB=2CD=2BC=2，ABCD，ABBC，四边形BCDM是边长为1的正方形，ABDM，EMDM=M，AB面DEM，ABED（）解：ABBC，面ABE面ABCD，面ABE平面AB
23、CD=AB，BC面ABE，直线CE与面ABE所成角为CEB，BC=1，BE=，CE=，sinCEB=点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18已知数列an，Sn是其前n项的且满足（I）求证：数列为等比数列；（）记（1）nSn的前n项和为Tn，求Tn的表达式考点：数列的求和；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（I）通过与3an+1=2Sn+1+n+1作差、整理可得an+1+=3（an+），进而可得结论；（）通过（I）可知：当n=2k1时bn=（3n1），当n=2k时bn=（3n1），进而数列ck=b2k1+b2k的
24、前n项和Qn=（9n1），利用Tn=+bn（n为奇数）、Tn=（n为偶数），计算即得结论解答：（I）证明：，3an+1=2Sn+1+n+1，两式相减得：3an+13an=2an+1+1，整理得：an+1=3an+1，an+1+=3（an+），又3a1=2a1+1，a1=1，a1+=1+=，数列是以为首项、3为公比的等比数列；（）解：由（I）可知：Sn=（3n1），记bn=（1）nSn，对n分奇数、偶数讨论：当n=2k1时，bn=Sn=（3n1）；当n=2k时，bn=Sn=（3n1）；记ck=b2k1+b2k，则ck=（32k11）+（32k1）=32k+32k=9k，数列ck的前n项和Qn=（
25、9n1），当n为奇数时，Tn=+bn=（1）（3n1）=3n+1；当n为偶数时，Tn=3n；综上所述，Tn=点评：本题考查等比数列的判定，考查数列的前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题19已知函数f（x）=x|xa|+1（xR）（）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的值；（）当a（0，3），求函数y=f（x）在x1，2上的最大值考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：（）当a=1时，f（x）=x|x1|+1=，依题意，可得 ，解之即可；（）当a（0，3），作出函数y=f（x）的图象，分0a1、1a2与2a3三类讨论，数形结合，即可求得函
26、数y=f（x）在x1，2上的最大值；解答：解：（）当a=1时，f（x）=x|x1|+1=，由f（x）=x可得：解得x=1，（）f（x）=，作出示意图，注意到几个关键点的值：f（0）=f（a）=1，f（）=1，当0a1时，f（x）在1，2上单调递减，函数的最大值为f（1）=a；1a2时，f（x）在1，a上单调递增，在a，2上单调递减，函数的最大值为f（a）=1；当2a3时，f（x）在1，上单调递减，在，2上单调第增，且直线x=是函数的对称轴，由于（2）（1）=3a0，故函数的最大值为f（2）=52a综上可得，f（x）max=点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查二次函数在闭区间上的最值，综合
27、考查数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想，考查逻辑思维、抽象思维、创新思维的综合运用，是难题20已知抛物线x2=4y，圆C：x2+（y2）2=4，M（x0，y0），（x00，y00）为抛物线上的动点（）若y0=4，求过点M的圆的切线方程；（）若y04，求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值考点：圆与圆锥曲线的综合；基本不等式；点到直线的距离公式；圆的切线方程专题：综合题分析：（I）当点M坐标为（4，4）时，设切线：kxy+44k=0，圆心到切线的距离，由此能求出切线方程（）设切线：yy0=k（xx0），切线与x轴交于点（），圆心到切线的距离，由此能求出两切线与x轴围成的三角形
28、面积S的最小值解答：解：（I）y0=4，x0=4，当点M坐标为（4，4）时，设切线：y4=k（x4）即kxy+44k=0圆心到切线的距离，3k24k=0，解得k=0或k=切线方程为y=4或4x3y4=0（）设切线：yy0=k（xx0），即：kxy+y0kx0=0，切线与x轴交于点（），圆心到切线的距离，4+y02+k2x024y0+4kx02x0y0k=4k2+4，化简得：（x024）k2+2x0（2y0）k+y024y0=0，设两切线斜率分别为k1，k2，则，=2=32当且仅当，即y0=8时取等号故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32点评：本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用，易错点是均值定理的应用解题时要认真审题，仔细解答
