1、江西省南昌市2021届高三数学一模试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x22x0，By|ysinx，则（RA）B（）A0，1B1，1C0，2D0，12复数z满足zi2+3i，则|z|（）ABCD3已知椭圆3x2+4y212的左顶点为A，上顶点为B，则|AB|（）AB2C4D4如图E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE2AE，DH2HA，CF2FB，CG2GD，现将ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是（）A直线EF，HG有可能平行B直线EF，HG一定异面C直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上D
2、直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上5ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，B45，C75，则b（）A2BCD6如图，将框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数yf（x），则yf（x）的图象（）A关于直线x1对称B关于直线x1对称C关于y轴对称D关于点（0，0）对称7已知直线l的方程是2x+y+m0，则“原点O在直线l的右上方”是“点A（2，1）在直线l的右上方”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8已知正数a，b，c满足2ab2log2ck（4k16），则（）AabcBbacCcabDacb9许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学
3、赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行现测得下底直径米，上底直径米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A10米B20米C米D米10已知，则（）A或1B或1C或1D或111如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（h，w，v为变量），则下列说法：w是v的函数；v是w的函数；h是w的函数；w是h的函数其中正确的个数是（）A1个B2个
4、C3个D4个12已知f（x）|x+a|sin（2x+）的最小值为0，则正实数a的最小值是（）ABCD1二、填空题（每小题5分）.13已知（1，2），|5，10，则向量夹角的余弦值为 14（2x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为 152020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表：调查人数x300400500600700感染人数y33667并求得y
5、与x的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为 （疫苗的有效率为；参考数据：109.510.009132；结果保留3位有效数字）16如图，ABCD是圆台的轴截面，AB3CD6，AD2，过点D与AD垂直的平面交下底圆周于E，F两点，则四面体CDEF的体积为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知an为公差不为0的等差数列，且a13，a1，a4，a13成等
6、比数列（）求an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Sn18如图三棱柱ABCA1B1C1中，CACB2，ACBC，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C是菱形，B1BC60，D是棱BB1的中点（I）求证：BB1平面ACD；（2）设E是A1B1的中点，求二面角ECDA的余弦值19已知函数f（x）（xb）ex（a0，bR，e为自然对数的底数）（1）当b2时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在R上单调递增，求证：ea1b20为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20
7、分，答错一个扣5分每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？21已知抛物线E：x22py（p0）的焦点为F，过点F且斜率为k（k0）的动直线l与抛物线交于A，B两点，直线l过点A（x1，y1），且点F关于直线l的对称点R（x1，1）（1）求抛物线E的方程，并证明直线l是抛物线E的切线；（2）
8、过点A且垂直于l的直线交y轴于点G，AG，BG与抛物线E的另一个交点分别为C，D，记AGB的面积为S1，CGD的面积为S2，求的取值范围选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为：（为参数），直线l的极坐标方程为：（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）设A，B是曲线C与直线l的公共点，P（2，0），求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x1|+|ax+2|（a0）（1）当a2时，求不等式f（
9、x）3的解集；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|x22x0，By|ysinx，则（RA）B（）A0，1B1，1C0，2D0，1解：Ax|x22x0x|x2或x0，By|ysinx1，1，RA0，2，则（RA）B0，1，故选：D2复数z满足zi2+3i，则|z|（）ABCD【解答】解:复数z满足zi2+3i，z32i,|z|故选：C3已知椭圆3x2+4y212的左顶点为A，上顶点为B，则|AB|（）AB2C4D解：椭圆3x2+4y212的方程整理可得：+1，由题意可得：A（2，0），B（0，），所以|AB|，故选：A4如图E，F，G，H分别是菱
10、形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE2AE，DH2HA，CF2FB，CG2GD，现将ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是（）A直线EF，HG有可能平行B直线EF，HG一定异面C直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上D直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上解：BE2AE，DH2HA，则EHBD，且EH，又CF2FB，CG2GD，则FGBD，且FG，EHFG，且EHFG，四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误；若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EHGF，与EHFG矛盾，故A错误；由EH
11、FG，且EHFG，EH，FG，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O，则OEF，又EF平面ABC，可得O平面ABC，同理，O平面ACD，而平面ABC平面ACDAC，OAC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误故选：C5ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，B45，C75，则b（）A2BCD解：由题意可知，A180457560，由正弦定理可知，所以bsinB2故选：C6如图，将框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数yf（x），则yf（x）的图象（）A关于直线x1对称B关于直线x1对称C关于y轴对称D关于点（0，0）对称解：分析程序中各变量、各语句的
12、作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y的值，可得当x0时，yx22xx（x2）是关于直线x1对称的二次函数；当x0时，yx22xx（x+2）是以直线x1为对称轴的二次函数，由此可知，该函数关于原点对称，即f（x）+f（x）0，则yf（x）的图象关于点（0，0）对称故选：D7已知直线l的方程是2x+y+m0，则“原点O在直线l的右上方”是“点A（2，1）在直线l的右上方”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当原点O在直线l的右上方时，则有20+0+m0，解得m0，当点A（2，1）在直线l的右上方时，则有221+m0，解得m3，因为（
13、0，+）（3，+），故“原点O在直线l的右上方”是“点A（2，1）在直线l的右上方”的充分不必要条件故选：A8已知正数a，b，c满足2ab2log2ck（4k16），则（）AabcBbacCcabDacb解：4k16，2ab2log2ck，24c216，2a4，2b4分别画出函数y2x，yx2的图象，可得：2x4时，函数y2x的图象在下面，yx2的图象在上面，由2ab2，可得：ba4，综上可得：bac，故选：B9许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上
14、、下底面与地面平行现测得下底直径米，上底直径米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A10米B20米C米D米解：建立如图的坐标系，由题意可知D(10,20),B(10,60),设双曲线方程为：,解得a2100,b2400,|EF|2a20，故选：B10已知，则（）A或1B或1C或1D或1解：因为，所以sin（）cos（2x）2cos2（x）1cos（x），解得，cos（x）1或cos（x），则sin（）cos（x）或1故选：A11如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度
15、为w，储油量为v（h，w，v为变量），则下列说法：w是v的函数；v是w的函数；h是w的函数；w是h的函数其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个解：油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，对于，w时v的函数，由于v确定，故h确定，w就确定，故选项正确；对于，v时w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故于函数的定义相矛盾，不是函数，故选项错误；对于，h是w的函数，同，w确定，所以有两个h（上下对称），故于函数的定义相矛盾，不是函数，故选项错误；对于，w是h的函数，h确定，则w确定，故选项正确故选项正确故选：B12已知f（x）|x+a|sin（2x+）的最小值为0
16、，则正实数a的最小值是（）ABCD1解：f（x）|x+a|sin（2x+）的最小值为0，|x+a|sin（2x+）恒成立且可取等号，设y1|x+a|，y2sin（2x+），分别画出y1|x+a|和 y2sin（2x+）的图象如图，观察知，当y1，y2 相切时等号成立，设切点为（m，n），y22cos（2x+），y11，2cos（2m+）1，cos（2m+），m0，把m0代入y2sin（2x+）得，n，切点为（0，），把（0，）代入y1|x+a|得|a|，a为正实数，a故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知（1，2），|5，10，则向量夹角的余弦值为解：，故答案为：14（
17、2x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为160解：（2x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，n6，故展开式的通项公式为Tr+126r（x）r，令r3，可得展开式中x3的系数为23160，故答案为：160152020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表：调查人数x300400500600700感染人数y33667并求得y与x的回归方程为，同期
18、，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为0.817（疫苗的有效率为；参考数据：109.510.009132；结果保留3位有效数字）解：（300+400+500+600+700）500，（3+3+6+6+7）5，则，则y关于x的线性回归方程为，当x10000时，故N109.5，由题意可得，n20，则该疫苗的有效率为10.817故答案为：0.81716如图，ABCD是圆台的轴截面，AB3CD6，AD2，过点D与AD垂直的平面交下底圆周于E，F两点，则四面体CDEF的体积为解：如图，连接AB，DC，设AB交
19、EF于O，连接DO，CO，AD平面DEF，DO平面DEF，ADDO，过D作DPAB于P，则DP圆台底面，由AB3CD6，结合圆台的对称性可得，AP2，又AD，可得DP2，由射影定理可得，AO，则O为AB的一个三等分点，可得CODP，则CO圆台底面，CO平面EFC，平面EFC圆台底面，EF，则，又DC平面EFC，故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知an为公差不为0的等差数列，且a13，a1，a4，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）设，求数列b
20、n的前n项和Sn解：（）设数列an的公差为d(d0)，由题设可得：a42a1a13，又a13，(3+3d)23(3+12d)，解得：d2，an3+2(n1)2n+1；（）由（）可得：()，Sn(1+)(1)18如图三棱柱ABCA1B1C1中，CACB2，ACBC，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C是菱形，B1BC60，D是棱BB1的中点（I）求证：BB1平面ACD；（2）设E是A1B1的中点，求二面角ECDA的余弦值【解答】（1）证明：连接CB1，因为侧面BB1C1C是菱形，B1BC60，D是棱BB1的中点，所以CB1B是正三角形，所以B1BCD，因为侧面AA1C1C是矩形，所以ACC1
21、C又因为B1BC1C，所以B1BAC，因为ACCDC，所以B1B平面ACD（2）解：过E作EFB1B，交AB于F，交AD于M，又由（1）知B1B平面ACD，所以EF平面ACD，因为E为A1B1中点，所以M为AD中点，取CD中点N，连接NM、NE，则MNAC，MNAC1，又因为ACC1C，ACBC，C1CBCC，所以AC平面BB1C1C，又因为CD平面BB1C1C，所以ACCD，所以MNCD，因为MN为NE在平面 ACD内射影，所以CDNE，所以EMN为二面角ECDA的平面角，其大小设为，tan，cos19已知函数f（x）（xb）ex（a0，bR，e为自然对数的底数）（1）当b2时，讨论f（x）
22、的单调性；（2）若f（x）在R上单调递增，求证：ea1b解：（1）当b2时，f（x）（x2）ex（x2+1）2（x2）ex（x1）2，f（x）（x2）ex+ex2（x1）（x1）exa（x1）（x1）（exa），（a0）令f（x）0得x1，xlna，当1lna，即ae时，f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增，当1lna，即ea时，在区间（0，1），（lna，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，在区间（1，lna）上，f（x）0，f（x）单调递减，当1lna，即0ae时，在区间（0，lna），（1，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，在区间（lna，1）上，f（x）0，f（x）单调递减，
23、综上所述，当ae时，f（x）在（，+）上单调递增，当ea时，f（x）在区间（0，1），（lna，+）上单调递增，在区间（1，lna）上单调递减，当0ae时，f（x）在区间（0，lna），（1，+）上单调递增，在区间（lna，1）上单调递减（2）证明：因为f（x）在R上单调递增，所以任意xR，f（x）ex（xb+1）a（xb+1）0恒成立，即任意xR，（exa）（xb+1）0恒成立，令f（x）0得xlna，xb1，所以lnab1，即blna+1，所以要证ea1b，只需证ea1lna+1，设g（x）ex1lnx1（x0），所以g（x）ex1，在（0，+）上单调递增，又g（1）0，所以在（0，1）上
24、，g（x）0，g（x）单调递减，在（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递增，所以g（x）ming（1）e11ln110，所以g（x）0恒成立，所以ea1b20为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；（2）若小明第一个题是从第
25、一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？解：（1）小明答对三道题，有以下两种情况，第一类错一题：P1，第二类错一题，P2，所以所求概率为PP1+P2；（2）得分期望如下：若抽2个第二类：10+10+215+4045（分），若抽3个第二类：10+（15）+310+335+6051.25（分），抽取三个第二类题的期望较大，所以应选3道二类题21已知抛物线E：x22py（p0）的焦点为F，过点F且斜率为k（k0）的动直线l与抛物线交于A，B两点，直线l过点A（x1，y1），且点F关于直线l的对称点R（x1，1）（1）求抛物线E的方程，并证明直线l
26、是抛物线E的切线；（2）过点A且垂直于l的直线交y轴于点G，AG，BG与抛物线E的另一个交点分别为C，D，记AGB的面积为S1，CGD的面积为S2，求的取值范围解：（1）R（x1，1）在定直线m：y1上，|AR|表示A到直线m的距离，因为F关于l的对称点为R，故|AF|AR|，即抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线m的距离，直线m即为准线，所以1，即p1，抛物线的方程为x24y；证明：kFR，因为FRl，所以l的斜率为，由y可得yx，点A处的切线的斜率为x1，故直线l是抛物线E的切线；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则，kAC，则x3x1，设直
27、线l的方程为ykx+1，与x24y联立，可得x24kx40，所以x1+x24k，x1x24，x2，则AC的方程为y（xx1），令x0，可得y2+，即G（0，2+），因为A，G，C三点共线，B，G，D三点共线，x3x1，同理可得x4x2，故5+（2）+（2）529，所以的取值范围是（9，+）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为：（为参数），直线l的极坐标方程为：（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）设A，B是
28、曲线C与直线l的公共点，P（2，0），求|PA|PB|的值解：（）已知曲线C的参数方程为：（为参数），转换为x2+y25；直线l的极坐标方程为：，根据，转换为直角坐标方程为x+y20（）直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y25；得到，所以，t1t21，所以|PA|PB|t1|t2|t1+t2|2选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x1|+|ax+2|（a0）（1）当a2时，求不等式f（x）3的解集；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围解：（1）|x1|+|2x+2|3等价为或或，解得x或0x1或x1，所以原不等式的解集为（，）（0，+）；（2）不等式恒成立等价为f（x）min，由f（x）|x1|+|ax+2|（|x1|+|x+|）+（a1）|x+|，当a1时，a10，f（x）无最小值；当a1时，f（x）|x1x|+（a1）|+|1+，当且仅当x时，f（x）取得最小值1+，所以1+，解得1a，则a的取值范围是1，