1、3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标：1、 掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。2、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。3、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。学习重点：1、利用空间向量的坐标运算证明线线垂直或平行。2、利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。学习难点：利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。学习方法：类比法和启发探究学习过程：一、复习回顾平面向量坐标运算已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示+=(+，+)-=(-，-)=(，)=/=0=0设，则或 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐
2、标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) cosq =（）二、新授：我们知道，向量在平面上可用有序实数对(x，y)表示，在空间则可用有序实数组表示。类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。空间向量的直角坐标运算：1设，则；.上述运算法则怎样证明呢？（将和代入即可）2两个向量共线或垂直的判定：设，则/，；=03向量的模：设a，则a利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：4空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，则A，B两点间的距离5、两个向量夹角公式这个公式成为两个向量的夹角公式利用这个公式，我们可以求出两个向量的夹角，并
3、可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos、1时，与同向；当cos、1时，与反向；当cos、0时，三、典型例题例1.设a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.解：(1)kab(k2,5k3，k5)，a3b(132,533，135)(7，4，16)因为(kab)(a3b)，所以，解得k.例2.若向量a(1，2)，b(2，1,2)，cosa，b，则为()A2 B2 C2或 D2或答案C解析由cosa，b，化得55210840，由此可解得2或.例3.已知a(cos，1，sin)，b(sin， 1，cos)，则向量 ab与ab的
4、夹角是()A90 B60 C30 D0答案A解析|a|b|，(ab)(ab)a2b20.例4. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值分析：如何建系？ 点的坐标？ 如何用向量运算求夹角？解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系O-xyz，则因此与所成的角的余弦值是。例5： 如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：. 证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以，,为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则所以 又所以所以 因此 ,即。四、课堂小结1.基本知识：（1）空间向量坐标表示及其运算（2）向量的长度公式与两点间的距离公式；（3）求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。五巩固练习课本2、3题和7题。六、作业课本5、8、10题。
