1、1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系目标定位1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.自 主 预 习1.四种命题的概念(1)互逆命题： 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对
2、于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.2.四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真. 即 时 自 测1.思考题(1)如何写出一个命题的否命题？提示：把条件和结论都进行否定.(2)在四种命题中，真命题的个数可能为多少？提示：由于互为逆否关系的命题同真同假，真命题可能有0个，2个或4个.2.若xy，则x2y2的否命题是()A.若xy，则x2y2 B.若xy，则x2y2C.若xy，则x2y2 D.若xy，则x2
3、10，那么x0；(3)当x2时，x2x60.解(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线.否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面.逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线.(2)逆命题：如果x0，那么x10.否命题：如果x10，那么x0.逆否命题：如果x0，那么x10.(3)逆命题：如果x2x60，那么x2.否命题：如果x2，那么x2x60.逆否命题：如果x2x60，那么x2.类型二四种命题的关系【例2】 下列命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形
4、”的逆否命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题.其中是真命题的是_(填序号).解析“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题.所以真命题是.答案规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.【训练2】 有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反
5、数”的否命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题；“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是_.解析“若xy0，则x，y不是相反数”，是真命题.“若a2b2，则ab”，取a0，b1，a2b2，但ab，故是假命题.“若x3，则x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x43不是不等式的解，故是假命题.“相等的角是同位角”是假命题.答案1类型三等价命题的应用(互动探究)【例3】 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假.思路探究探究点一原命题和其逆否命题的真假性有何关系？提示：原命题和其逆否命题
6、同真同假.探究点二关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，应该满足什么条件？解集是空集呢？提示：0时，解集不是空集；0时，解集是空集.解法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集.真假判断如下：抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，若a1，则4a70，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假.解m0，12m0，12m40.方程x22x3m0的判别式12m40.原命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x22x3m0有实
7、数根”的逆否命题也为真.课堂小结1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.2.每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.1.命题“若aA，则bB”的否命题是()A.若aA，则bB B.若aA，则bBC.若bB，则aA D.若bB，则aA解析命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“”与“”互为否定形式.答案B2.命题“若ABA，则ABB”的逆否命题是()A.若ABB，则ABAB.若ABA，
8、则ABBC.若ABB，则ABAD.若ABB，则ABA解析注意“ABA”的否定是“ABA”.答案C3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是_，它是_命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4.写出命题“当x2时，x23x20”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.解原命题：若x2，则x23x20，真命题.逆命题：若x23x20，则x2，假命题.否命题：若x2，则x23x20，假命题.逆否命题：若x23x20，则x2，真命题.基 础 过 关1.命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A.若x21，则x1或x1B.若1x1，则x21
9、或x1D.若x1或x1，则x21解析x21的否定是x21，1x3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a6，则a3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题.答案B4.“若x，y全为零，则xy0”的否命题为_.解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy0”.答案若x，y不全为零，则xy05.下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；正方形的四条边相等；若一个四边形的四条边相等，则它是正
10、方形.其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_(填序号).答案和和和6.已知命题p：“若ac0，则二次方程ax2bxc0没有实根”.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论.解(1)命题p的否命题为：“若ac0，则二次方程ax2bxc0有实根.”(2)命题p的否命题是真命题.证明如下：ac0b24ac0二次方程ax2bxc0有实根.该命题是真命题.7.写出命题“已知a，bR，若a2b2，则ab”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.解逆命题：已知a，bR，若ab，则a2b2；否命题：已知a，bR，若a2b2，则ab；逆否命题：已知a，b
11、R，若ab，则a2b2.原命题是假命题，逆否命题也是假命题.逆命题是假命题，否命题也是假命题.8.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假.(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.解(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题.(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧
12、，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题.能 力 提 升9.有下列四个命题，其中真命题有：“若xy0，则x、y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为()A. B. C. D.解析命题：“若x、y互为相反数，则xy0”是真命题；命题：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题是假命题；命题：“若x22xq0有实根，则q1”是真命题；命题是假命题.答案C10.下列四个命题：“若xy0，则x0，且y0”的逆否命题；“正方形是矩形”的否命题；“若ac2bc2，则
13、ab”的逆命题；若m2，则不等式x22xm0.其中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析命题的逆否命题是“若x0，或y0，则xy0”，为假命题；命题的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，为假命题；命题为真命题，当m2时，方程x22xm0的判别式0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x22bxb2b0无实根，则b1”.方程判别式为4b24(b2b)4b，因为方程无实根，所以0，即4b0，所以b1成立，即原命题的逆否命题为真.探 究 创
14、 新14.已知函数f(x)在(，)上是增函数，a、bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b).”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解(1)逆命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，为真命题.由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”为真命题.因为ab0，则ab，ba.因为f(x)在(，)上为增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b).因此否命题为真命题，即逆命题为真命题.(2)逆否命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，为真命题.因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题.因为ab0，所以ab，ba.又因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a).所以f(a)f(b)f(a)f(b).所以逆否命题为真命题.