1、3 抽象函数的相关性质例1设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数例2（多选）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（）A的图象关于点中心对称B是周期为的周期函数C的图象关于直线轴对称D为偶函数例3定义在R上的函数，当时，；，且对任意的，有（1）求证：；（2）求证：对任意的，恒有；（3）当，不等式恒成立，求a的取值范围一、选择题1已知定义在上的函数满足，且当时，则关于的不等式（其中）的解集为（）AB或CD或2己知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（）A0BC1D3若是奇函数，且在区间上是增函数，
2、则的解集是（）ABCD4已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系是（）ABCD5已知是R上的偶函数，对任意，都有，且，则的值为（）A0BC2D66（多选）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足f(xy)f(x)f(y)，且，当时，则以下结论正确的是（）A，B为R上的减函数C为奇函数D为偶函数7（多选）已知函数，对于任意的，则（）A的图象过点和B在定义域上为奇函数C若当时，有，则当时，D若当时，有，则的解集为二、解答题8已知函数是定义在上的减函数，对于任意的都有，（1）求，并证明为上的奇函数；（2）若，解关于的不等式答案与解析例1【答案】B【解析】对任意，有，令，得，令，得
3、，即，令，得，即函数为偶函数，故选B例2【答案】AD【解析】因为，所以的图象关于点中心对称，又因为函数为偶函数，所以是周期为的周期函数，且它的图象关于点中心对称和关于直线轴对称，所以为偶函数，故选AD例3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）证明：令，由，得，又，所以（2）由题设知：时，；由（1）知：，所以，要证时，只需证当时，令，由，得，当时，则，从而，综上可知，对任意时，恒有（3）先用定义证明函数在上是增函数任取，且，则，所以，又，所以，从而，在上是增函数由，可得，所以，又，所以，上式又等价于令，则，令，得或（舍），当时，递增；当时，递减，所以，故，即的取值范围是
4、一、选择题1【答案】A【解析】任取，由已知得，即，所以函数单调递减，由可得，即，所以，即，即，又因为，所以，此时原不等式解集为，故选A2【答案】A【解析】当且时，由，得，令，则是周期为1的函数，所以，当时，由，得，又是偶函数，所以，所以，所以，所以，故选A3【答案】A【解析】由题意，是奇函数，所以等价于，当时，此时在上是增函数，且，所以解得；当时，因为是奇函数，所以解得，所以的解集为，故选A4【答案】D【解析】由题设知：时，单调递增，是偶函数，关于对称，即上，单调递减，由对称性可知：，而，即，故选D5【答案】C【解析】令，则，所以，则，故，所以是周期为的周期函数，所以，故选C6【答案】AC【解
5、析】由已知，令，得，令，得，再令，得，A正确；，不是上的减函数，B错误；令，得，故C正确；令，由C可知g(x)为奇函数，即，故D错误，故选AC7【答案】AC【解析】因为函数，对于任意的，令，则，则，令，则，则，所以过点和，故A正确；令，则，即，所以为偶函数，故B错误；令，则，则，当时，所以，又，则，即当时，故C正确；令，则，则，当时，所以，又，则，即当时，因为是偶函数，所以时，所以的解集为，故D错误，故选AC二、解答题8【答案】（1），证明见解析；（2）【解析】（1）令，则有，令，则有，即，所以为上的奇函数（2）令，则有，所以不等式化为，由于为上的奇函数，所以，所以，因此不等式进一步化为，已知函数是定义在上的减函数，所以有，解得，因此不等式的解集为
