1、第五章第7讲A级基础达标1在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A kmB kmC kmD2 km【答案】A2如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a.其中一定能确定A，B间的距离的方案为()ABCD【答案】D3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，
2、其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里C20海里D20海里【答案】A4(2019年深圳模拟)一架直升机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60，则塔高为()A mB mC mD m【答案】A5如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m【答案】C【解析】如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，所以BCCDBD6060(2)120(1)
3、(m).6如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB_.【答案】【解析】在ACD中，由余弦定理可得cos C，则sin C.在ABC中，由正弦定理可得，则AB.7如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米【答案】50【解析】连接OC，由题意知CD150米，OD100米，CDO60.在COD中，由余弦定理得OC2CD2OD22CDODcos 60，即OC50.8我国南宋著名数学家秦九
4、韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里、14里、15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为_平方千米【答案】21【解析】设在ABC中，a13里，b14里，c15里，所以cos C，所以sin C，故ABC的面积为1314500221(平方千米)9如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的高
5、度为多少米？(取14，17)解：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，所以ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，所以BCsin 1510 500()因为CDAD，所以CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 350(m)故山顶的高度为10 0007 3502 650(m)10如图，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的长【答案】解：(1)因为ADAB23，所以可设AD2k，AB3k(k0)又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos
6、，解得k1所以AD2，AB3，sinABD.(2)因为ABBC，所以cosDBCsinABD.所以sinDBC.所以.所以CD.B级能力提升11(2020年衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距离远40米A地测得该仪器在C处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A210()米B140米C210米D20()米【答案】B【解析】由题意，设AC
7、x米，则BC(x40)米，在ABC内，由余弦定理得，BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420(米)在ACH中，AC420米，CAH301545，CHA903060，由正弦定理，可得CHAC140(米)12地面上有两座塔AB，CD，相距120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A50米，100米B40米，90米C40米，50米D30米，40米【答案】B【解析】设高塔高H，矮塔高h，在矮塔下望高塔仰角为，在O点望高塔仰角为.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另
8、一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为，即tan ，tan，根据倍角公式有.在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔仰角为，即tan ，tan，根据诱导公式有.联立得H90，h40，即两座塔的高度分别为40米，90米13(一题两空)如图，在等腰直角ABC中，C90，点D，E分别是BC的三等分点，则tan _，tan _.【答案】【解析】设等腰直角三角形的直角边为a，点D，E分别是BC的三等分点，则CDDEEBa，所以tan ，tan().因为tan ，所以tan 14(一题两空)(2020年厦门模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC于
9、D点若AD2，a3，csin Acos C(2bc)cos Asin C，则A_，ABC的面积为_【答案】【解析】因为csin Acos C(2bc)cos Asin C，所以由正弦定理得sin Csin Acos C(2sin Bsin C)cos Asin C又因为A，B，C为三角形内角，所以sin C0，sin B0.所以sin Acos C2sin Bcos Asin Ccos Asin B2sin Bcos Acos AA.由正弦定理可知2，所以c2sin C，b2sin B，得BD.同理有CD，BCBDCD3，化简得sin2sin 0，所以sin或sin(舍去)，解得或所以或所以S
10、ABCac或SABCab.综上，SABC.15高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水如图所示，B，E，F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30，60，45，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC，DE，EF三段线段的长度分别为3,1,2.(1)求线段AE的长度；(2)求隧道CD的长度解：(1)由已知得EF2，F45，EAF604515.sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.在AEF中，由正弦定理得，即，解得AE2.(2)由已知得BAE180306090.在RtABE中，BE2AE4，所以隧道长度CDBEBCDE
11、4.16要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距200 m的C，D两点，并测得ADC105，BDC15，BCD120，ACD30，求A，B两点之间的距离解：在ACD中，因为ACD30，ADC105，所以DAC45.由正弦定理得，又CD200，所以AD100.在BCD中，同理可得CBD45.由正弦定理得，所以BD100.在ABD中，BDA1051590，由勾股定理得AB200，即A，B两点间的距离为200.C级创新突破17(2020年山东)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形
12、DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC，BHDG，EF12 cm，DE2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2.【答案】4 【解析】过A作AMEF交DG于点M，交BH于点P，过O作ONDG交DG于点N，设OBOAR.由已知可得AM5，DM7，所以MG5.所以AGM45.所以OAAHR，OHR，MNOPAPR.所以ON5R，DN7R.又tanODC，所以，解得R2.所以扇形AOB面积S1(2)23，SAOH224.半圆孔的面积S12，所以阴影部分面积SS1SAOHS4.18已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，
13、B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离【答案】解：在RtAMP中，APM30，AM100，所以PM100.连接QM，在PQM中，QPM60，PQ100，故PQM为等边三角形，则QM100.在RtAMQ中，AQ200.在RtBNQ中，tan 2，所以NQ100，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，所以BA100.所以两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.