1、第29讲平面向量的基本定理及坐标运算夯实基础【p63】【学习目标】1了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件【基础检测】1已知向量a(4，3)，b(2，1)，如果向量ab与b垂直，则|2ab|的值为_【解析】由题可知(ab)b0，即(42，3)(2，1)0，解得1，所以2ab(10，5)，|2ab|5.【答案】52已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7，4)C(1，4) D(1，4)【解析】因为点A(0，1)，B(3，2)，所以(30，21)
2、(3，1)因为向量(4，3)，所以(4，3)(3，1)(7，4)【答案】A3已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是()Ae1e2和e1e2B3e12e2和4e26e1Ce12e2和4e26e1De2和e1e2【解析】4e26e12(3e12e2)，3e12e2与4e26e1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，它们不能作为一组基底【答案】B4如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若，则()A2 B.C. D.【解析】设正方形边长为2，以A为原点建立平面直角坐标系，则M(2，1)，N(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，(1，2
3、)，依题意，即解得，.【答案】D5已知向量a(1，2)，点A(2，1)，若a且|3，O为坐标原点，则的坐标为()A(1，5) B(5，7)C(1，5)或(5，7) D(1，5)或(5，7)【解析】由a知，存在实数，使a(，2)，又|3，则24295，即3或3，所以(3，6)或(3，6)又点A(2，1)，所以(1，5)或(5，7)【答案】D【知识要点】1平面向量基本定理如果e1和e2是一个平面内的两个_不共线_向量，那么对于该平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取
4、与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，把a(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|叫做向量a的长度(模)3平面向量坐标运算向量的加减法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_(x1x2，y1y2)_，ab_(x1x2，y1y2)_.实数与向量的积若a(x1，y1)，R，则a_(x1，y1)_.向量的坐标若起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则_(x2x1，y2y1)_.4.两向量平行
5、和垂直的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2y1x20.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.典 例 剖 析【p63】考点1平面向量基本定理的应用如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2 Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2 De13e2与6e22e1【解析】选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量【答案】D如图
6、所示，已知AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，2，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值【解析】(1)由题意知，A是BC的中点，且，由平行四边形法则得，2.22ab，(2ab)b2ab.(2)由题意知，.又(2ab)a(2)ab，2ab，.【点评】用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便考点2平面向量的坐标运算已知点A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满
7、足ambnc的实数m，n的值；(3)求点M，N的坐标及向量的坐标【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)，所以点M的坐标为(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以点N的坐标为(9，2)，所以(9，18)【点评】(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这
8、一原则，通过列方程(组)来进行求解考点3平面向量共线的坐标表示已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值【解析】(1)a(1，0)，b(2，1)，kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1，0)3(2，1)(8，3)，(1，0)m(2，1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.【点评】向量共线充要条件的2种形式：(1)abab(b0)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2
9、，y2)当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便考点4向量问题坐标化如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(、R)，则的值为_【解析】由条件可知，COB90，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系则(2，0)，(0，1)，因为，所以(2，0)(0，1)，所以所以所以6.【答案】6在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC1，AB2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)若，其中，R，则2的取值范围是_【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建
10、立平面直角坐标系，依题意得D，E，C(1，1)，B，F，设P，依题意，即，两式相减得2sin cos sin，sin.【答案】1，1【点评】(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等(2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化(3)注意如下结论的运用：当向量的起点在原点时，P点的坐标就是向量的坐标；若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量(x2x1，y2y1)方 法 总 结【p64】1向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量实数对(x，y)，任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是
11、一一对应的关系，即实数对(x，y)一一对应,)点A(x，y)2已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆3向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法走 进 高 考【p64】1(2018全国卷)
12、已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，)，若c(2ab)则_【解析】2ab2(1，2)(2，2)(4，2)，又c(2ab)，故有4210，.【答案】2(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3 B2 C. D2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)，根据等面积公式可得圆的半径r，即圆C的方程是(x2)2y2，(x，y1)，(0，1)，(2，0)，若满足，即，1y，所以y1，设zy1，即y1z0，点P(x，y)在圆(x2)2y2上，所以圆心到直线的距离
13、dr，即，解得1z3，所以z的最大值是3，即的最大值是3，故选A.【答案】A考 点 集 训【p209】A组题1已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于()A(5，10) B(4，8)C(3，6) D(2，4)【解析】abm4，所以2a3b(2，4)(6，12)(4，8)【答案】B2已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A(23，12) B(23，12)C(7，0) D(7，0)【解析】由题意可得3a2bc(23x，12y)(0，0)，所以解得所以c(23，12)【答案】A3已知在ABCD中，(2，8)，(3，4)，对角线AC与BD相交于
14、点M，则()A. B.C. D.【解析】因为在ABCD中，有，所以()(1，12).【答案】B4已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是()Am2 BmCm1 Dm1【解析】若点A、B、C不能构成三角形，则只能三点共线 (2，1)(1，3)(1，2)，(m1，m2)(1，3)(m，m1)假设A、B、C三点共线，则1(m1)2m0，即m1.若A、B、C三点能构成三角形，则m1.【答案】C5已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中M(1，3)，N(1，3)，则x_【解析】(1，3)(1，3)(2，0)，因为向量a(x3，x23x4)与相等
15、，所以(x3，x23x4)(2，0)，则故x1.【答案】16已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，则向量的坐标为_【解析】由所给条件知2，可令B(x，y)，由向量的坐标运算可得解得x4，y7.则(4，7)【答案】(4，7) 7已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，那么|3|的最小值为_【解析】如图，建立平面直角坐标系，设C(0，b)，P(0，y)，则B(1，b)又A(2，0)，则3(2，y)3(1，by)(5，3b4y)，所以|3|225(3b4y)2，所以当3b4y0，即yb时，|3|2取得最小值25，即|3|的最
16、小值为5.【答案】58已知向量a(m，1)，b.(1)若向量a与向量b平行，求实数m的值；(2)若向量a与向量b垂直，求实数m的值；(3)若ab，且存在不等于零的实数k，t使得a(t23)b(katb)，试求的最小值【解析】(1)a(m，1)，b，且ab，1m0，m.(2)a(m，1)，b，且ab，m10，m.(3)由条件a(t23)b(katb)得：a(t23)b(katb)0，所以k，故(t24t3)(t2)2，所以，当t2时，的最小值为.B组题1给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值是()A3 B4 C
17、2 D8【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(cos 120，sin 120)，则B.设AOC，则(cos ，sin )xy(x，0)(cos ，sin )，xysin cos 2sin(30)0120，3030150.当60时，xy有最大值2.【答案】C2已知a，b是互相垂直的单位向量，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B1，2C1，1 D1，2【解析】以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a(1，0)，b(0，1)，设c(x，y)，则cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21.即(x，y)是以点M(1，1)为
18、圆心，1为半径的圆上的点，而|c|，所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|r|c|OM|r，即|c|1，1【答案】A3如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD. 若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若，则下列叙述正确的是()A满足2的点P必为BC的中点B满足1的点P有且只有一个C的最大值为3D的最小值不存在【解析】由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B(1，0)，E(1，1)，故 (1，0)，(1，1)，(，)，当1时， (0，1)，此时点P与D重合，满足2，但P不是BC的中点，故A错误；当1，0时，
19、(1，0)，此时点P与B重合，满足1；当，时， ，此时点P为AD的中点，满足1，故满足1的点不唯一，故B错误；当PAB时，有01，0，可得01，故有01；当PBC时，有1，01，所以011，故12，故13；当PCD时，有01，1，所以011，故12，故23；当PAD时，有0，01，所以01，故02.综上可得03，故C正确，D错误【答案】C4在ABC中，已知9，sin Bcos Asin C，SABC6，P为线段AB上的一点，且xy，求的最小值【解析】ABC中，设ABc，BCa，ACb，sin Bcos Asin C，sin(AC)sin Ccos A，即sin Acos Csin Ccos Asin Ccos A，sin Acos C0，sin A0，cos C0，C90，9，SABC6，bccos A9，bcsin A6，tan A，根据直角三角形可得sin A，cos A，bc15，c5，b3，a4，以C为坐标原点，AC所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，P为AB线段上的一点，则存在实数使得(1)(3，44)，设e1，e2，则|e1|e2|1，e1(1，0)，e2(0，1)，xy(x，0)(0，y)(x，y)，x3，y44，则4x3y12，.当且仅当即x126，y812时，.备 课 札 记
