1、第三讲几何概型(文)第六讲几何概型(理)A组基础巩固一、选择题1(2021辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发现一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得x1.5其中数据(1，y1)因书写不清楚，只记得y1是0,3上的一个值，则该数据对应的残差(残差真实值预测值)的绝对值不大于0.5的概率为(C)ABCD解析依题意可知，估计值为11.52.5，残差为y12.5，依题意得|y12.5|0.5，解得2y13，所求概率为，故选C2(2021云南昆明一中检测)在区间0,8上随机取一个实数a，则方程x22ax160有实数根的概率为(B)ABCD解析由4a241160，得a216，即a4或a4，它与0a8
2、的公共元素为4a8，所以p，选B.3(2021湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为(A)ABCD解析设MPx cm,0x60，得6x10，所以所求概率为P.故选A4. (2021湖南湘潭模拟)如图来自中国古代的木纹饰图若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是(D)ABCD解析因为大正方形的面积为6636；而小正方的面积为111；故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有8个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是：.故
3、选D.5(2020广西河池期末)在区间4,12上随机地取一个实数a，则方程2x2ax80有实数根的概率为(D)ABCD解析因为方程2x2ax80有实数根，所以(a)24280，解得a8或a8.所以方程2x2ax80有实数根的概率p.故选D.6(2021贵州贵阳四校联考)在区间2,2随机取一个数x，则事件“y，且y”发生的概率为(D)ABCD解析事件“y，且y”由题可知，该分段函数是一个增函数，y，2，此时x1,1，所以该事件发生的概率P.故选D.7(2021贵州贵阳模拟)若贵阳某路公交车起点站的发车时间为635,650,705，小明同学在640至705之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时
4、刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是(C)ABCD解析640至705共25分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是645至650和700至705到站，共10分钟，所以所求概率为P.故选C8.(2021山西太原模拟)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成(清)陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(C)ABCD解析设正方形边长为a，则
5、其面积Sa2，阴影部分面积Sa，所求概率p.故选C9(2021湖北省四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(C)ABCD解析设六角星的中心点为O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P，故选C10(2021武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为(C)ABCD解析设这两个数分别为x，y，则由条件知0x2，0y1，即|CP|1
6、时，以点P为中点的弦的弦长小于2，由几何概型的概率公式可得所求概率为.16(2021河北衡水中学调研)有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为.解析到点O1，O2距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为P11.17(2021广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞
7、镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是2.解析阴影部分面积为12(23)R2，飞镖落在黑色部分的概率为2，故答案为2.B组能力提升1.(2021四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是(D)ABCD解析设直角三角形较短的直角边的边长为a，则小正方形的边长为2a，大正方形的边长为a，所求概率P.故选D.2(2021四川达州诊断)在矩形ABCD中，AB1，AD2，E是AD中点，在矩形A
8、BCD内(包括边界)随机取一点F，事件1发生的概率为(A)ABCD解析矩形ABCD中，AB1，AD2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事件1即：|1，如图所示：所以P.故选A3(2021福建莆田质检/安徽芜湖模拟)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为(A)ABCD解析分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R，该正方形的边长为l，l2(RR)，
9、l(2)R，所求概率P.故选A4(2021河南阶段测试)九章算术商功中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割已知正方体ABCDA1B1C1D1，随机在线段AC1上取一点，过该点作垂直于AC1的平面，则平面“解”正方体ABCDA1B1C1D1所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为(D)ABCD解析如图所示，由正方体的性质可知，AC1垂直于平面A1BD和平面CB1D1，设P和Q分别是平面A1BD和平面CB1D1与线段AC1的交点，易知VA1ABDVCC1B1D1V正，当平面取平面A1BD或平面CB1D1时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，要满足条件，应在线段AP或QC1上取点，而APPQQC1，所以所求的概率为.5(2021湖北武汉武昌区调研)已知a，b是区间0,4上的任意实数，则函数f(x)ax2bx1在2，)上单调递增的概率为(D)ABCD解析由题意知函数f(x)在2，)上递增即由图可知所求概率P.故选D.