1、第 1 讲 函数的图像与性质的简单应用 高考年份 全国卷 全国卷 全国卷 2020 函数单调性的应用T12 对数大小的判断T11 函数的奇偶性与单调性T9 函数的性质T16 2019 函数图像的判断T5 函数的建模与应用T4 函数图像的判断T7 2018 函数图像的判断T3 函数图像的判断T7 1.2019全国卷函数 f(x)=sin+cos+2在-,的图像大致为()A B C D 图 M1-1-1 2.2018全国卷函数 y=-x4+x2+2 的图像大致为()图 M1-1-2 3.2019全国卷若 ab,则()A.ln(a-b)0 B.3a0 D.|a|b|4.2020全国卷若 2x-2y0
2、 B.ln(y-x+1)0 D.ln|x-y|0 的解集是()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(0,1)D.(-,0)(1,+)6.2020全国新高考卷若定义在 R 的奇函数 f(x)在(-,0)单调递减,且 f(2)=0,则满足 xf(x-1)0 的 x 的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1 C.-1,01,+)D.-1,01,3 7.2020全国卷已知 5584,13485.设 a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abc B.bac C.bca D.ca 0,+,0,且 f(0)=3,f(-1)=4,则 ff(-3)=()A.-1
3、B.-lg3 C.0 D.1(2)已知函数 f(x)=+1,0,2,0,若 f(a)0,0,=0,-1,1,若 f(x)的最小值为 f(1),则实数 a 的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.4 函数的图像与判断 2(1)函数 f(x)=cosln|+sin 在-,0)(0,上的图像大致为()图 M1-1-3(2)函数 f(x)=1-ln-1的图像大致是()图 M1-1-4【规律提炼】已知解析式判断函数图像问题,首先要确定函数的定义域,进而确定函数图像是否有渐近线,过何定点,然后判断函数的奇偶性、周期性等,最后确定函数的图像.测题 1.已知函数 f(x)=x2-ln|x|,则函数 f(x)
4、的大致图像是()图 M1-1-5 2.图 M1-1-6 可能是下列哪个函数的图像()图 M1-1-6 A.y=2(-2)-1 B.y=(-2)ln|-1|C.y=x2ln|x-1|D.y=tanxln(x+1)3.已知函数 f(x)=12x2-2x+1,x1,4,当 x=a 时,f(x)取得最大值 b,则函数 g(x)=a|x+b|的大致图像为()图 M1-1-7 基本初等函数的性质与图像 3(1)2020全国卷设函数 f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则 f(x)()A.是偶函数,且在(12,+)单调递增 B.是奇函数,且在(-12,12)单调递减 C.是偶函数,且在(-,-12
5、)单调递增 D.是奇函数,且在(-,-12)单调递减(2)已知函数 f(x)=cosx-2|,则()A.f log413 f(-2)f(33)B.f(-33)f log312 f(2)C.f(33)f(-2)f log615 D.f(2)f(33)f log514 (3)设偶函数 f(x)满足 f(x)=12x+2(x0),则使不等式 f(x-1)2b B.ab2 D.abc B.bca C.acb D.cba 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=2-f(x),若函数 y=+1 与 y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则=1(xi+yi)
6、=()A.0 B.m C.2m D.4m 3.已知函数 f(x)=x3+ln1+1-,若 f(m)+f(m+1)0,则实数 m 的取值范围是()A.-1,-12 B.-12,0 C.-12,1 D.-12,+4.若 a=0.220.33,b=0.330.22,c=log0.330.22,则()A.abc B.bac C.cab D.cba 函数性质的综合应用 4(1)已知函数 f(x)是偶函数,y=f(x+1)为奇函数,且当 x1,2时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是()A.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且 f(x)0 B.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且 f(x)0
7、 D.f(x)在(-3,-2)上为增函数,且 f(x)0;f(x+8)=f(x);y=f(x+4)是偶函数.若a=f(-7),b=f(11),c=f(2020),则 a,b,c 的大小关系是()A.abc B.bac C.bca D.cb0 等价于 f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0.则 f32,f(2),f(3)的大小关系是()A.f32 f(2)f(3)B.f(3)f(2)f32 C.f32 f(3)f(2)D.f(3)f32 f(2)2.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x3,5时,f(x)=2-|x-4|,则下列不等式一定
8、不成立的是()A.f cos6 f sin6 B.f(sin1)f sin23 D.f(sin2)f(cos2)3.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意 xR,都有 f(x+4)=f(x)+2020f(2),若函数 y=f(x-1)的图像关于直线 x=1 对称,且 f(-1.67)=2,则 f(2021.67)=()A.2 B.3 C.-2 D.-3 函数建模与信息题 5(1)为了抗击新型冠状病毒,保障师生安全,某校决定每天对教室进行消毒,已知药物释放过程中,室内空气中的含药量 y(mg/m3)与时间 t(h)成正比(0t0.5);药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=0.2
9、5t-a(a为常数,t0.5),如图 M1-1-8 所示.据测定,当空气中的含药量降低到 0.5mg/m3 以下时,学生方可进教室,则学校应安排工作人员至少提前多长时间进行消毒工作()图 M1-1-8 A.0.5h B.0.6h C.1h D.1.5h(2)2020北京卷为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 W=f(t),用-()-()-的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图 M1-1-9所示.图 M1-1-9 给出下列四个结论:
10、在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在 t2 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在 t3 时刻,甲、乙两企业的污水排放量都已达标;甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在0,t1的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是 .【规律提炼】高考中常见的应用题有:与经济有关即以利润最大化和成本最小化为背景的应用题,以平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题,与数学文化结合的应用题等,要引起足够重视.主要涉及的函数模型有分段函数、三次函数、三角函数等,难度以中档题为主.测题 1.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度,
11、其工作原理是:激光器发出的光平均分成两束射出,在被测物体表面汇聚,探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时,反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时,反射光相对探测光会发生频移 fp=2sin,其中 v 为测速仪测得被测物体的横向速度,为激光波长,为两束探测光线夹角的一半.如图 M1-1-10,若激光测速仪安装在距离高铁 1m 处,发出的激光波长为 1550nm(1nm=10-9m),测得某时刻的频移为9.03109(1/h),则该时刻高铁的速度约为()图 M1-1-10 A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h 2.5G 技术的数学原理之一便是著名的
12、香农公式:C=Wlog2 1+.它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率 C 取决于信道带宽 W、信道内信号的平均功率 S、信道内部的高斯噪声功率 N 的大小,其中叫作信噪比.按照香农公式,若不改变信道带宽 W,而将信噪比从 1000 提升至 2000,则 C 大约增加了()A.10%B.30%C.50%D.100%模块一 函数与导数 第 1 讲 函数的图像与性质的简单应用 真知真题扫描 1.D 解析因为 x-,所以由 f(-x)=sin(-)+(-)cos(-)+(-)2=-sin+cos+2=-f(x),可知函数 f(x)为奇函数,所以选项 A错误.又由当 x=时,f()=sin+co
13、s+2=2-1,可知 0f()0 时,函数 y=-x4+x2+2 在(0,22)上单调递增,在(22,+)上单调递减.又函数 y=-x4+x2+2 为偶函数,故选 D.3.C 解析因为 ab,不妨设 a=-1,b=-2,则 ln(a-b)=ln1=0,3-13-2,|-1|-2|,选项 A,B,D 均错,故选 C.4.A 解析方法一:设 f(x)=2x-3-x,则 f(x)在 R 上单调递增.由题知 2x-3-x2y-3-y,即 f(x)f(y),得 x1,所以 ln(y-x+1)0.方法二:取 x=0,y=1,可排除选项 B,C,D.故选 A.5.D 解析方法一:因为 f(-2)=2-2-(
14、-2)-1=540,所以排除 A,C;因为 f(-1)=2-1-(-1)-1=120,所以排除 B.故选D.方法二:因为 f(x)=2x-x-1,所以 f(x)=2xln2-1.令 f(x)=0,得 2x=1ln2,所以 x=-log2(ln2)0.当 x-log2(ln2)时,f(x)0,f(x)单调递增;当 x-log2(ln2)时,f(x)0 的解集为(-,0)(1,+).故选 D.6.D 解析方法一:由题意可得 y=f(x)的图像可如图所示,y=f(x-1)的图像可由 y=f(x)的图像向右平移一个单位得到(如图),满足 xf(x-1)0 即满足 f(x-1)与 x同号或二者至少有一个
15、为零,由图可得不等式 xf(x-1)0 的解集为-1,01,3.方法二:由于 f(x)在 R 上为奇函数,所以 f(0)=0,由 f(x)在(-,0)单调递减,且 f(2)=0 可得 f(-2)=0,所以当 x(-,-2)(0,2)时,f(x)0;当 x(-2,0)(2,+)时,f(x)0;当 x(-1,1)(3,+)时,f(x-1)0.又 f(-1-1)=f(3-1)=f(1-1)=0,所以满足 xf(x-1)0 的 x 的取值范围为-1,01,3.故选 D.7.A 解析由 a=log53,b=log85,得=log53log85=log53log58log53+log5822=log524
16、22log52522=1,所以ab;由5584,得5ln54ln8,即ln5ln8=log8545,由13485,得4ln1345,所以cb.故cba.8.C 解析由题意可知,1+e-0.23(*-53)=0.95K,即 1+e-0.23(*-53)=10.95,得e-0.23(*-53)=119,即-0.23(t*-53)=ln 119-3,所以 t*53+30.2366.9.解析f(x)的定义域为x|xk,kZ,关于原点对称.由 f(x)=sinx+1sin,易知 f(-x)=-sinx+1-sin=-sinx+1sin=-f(x),所以是假命题,是真命题;因为 f(-x)=sin(-x)
17、+1sin(-)=sinx+1sin=f(x),所以是真命题;因为 f-6=sin(-6)+1sin(-6)=-12-2=-52 0,+,0,且f(0)=3,f(-1)=4,则0+=1+=3,-1+=4,解得=12,=2,则 f(-3)=12-3+2=10,则 ff(-3)=f(10)=-lg10=-1.故选 A.(2)当 a0 时,2a10 时,由+12,得 0a 0,0,=0,-1,0 时,gf(x)=g(1)=sin=0;当 x=0时,gf(x)=g(0)=sin0=0;当 x0 时,f(x)=1,ff(x)=f(1)=1,ff(x)=f(x)成立;当 x=0 时,f(0)=0,ff(0
18、)=f(0)=0,ff(x)=f(x)成立;当 x1 时,f(x)=x+4+a4+a,当且仅当 x=2 时,等号成立.当 x1 时,f(x)=x2-2ax+9=(x-a)2+9-a2.要使 f(x)在 x=1 处取到最小值,则 a1 且 f(1)4+a,即 a1 且1-2a+9a+4,解得 a2,故选 BCD.小题 2 例 2(1)D(2)B 解析(1)因为 f(-x)=-cosln|+sin=-f(x),所以 f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,故排除A.又因为 f(1)=0,f 2=0,f3 0,f()0,g(x)单调递增,当 x(0,1)时,g(x)0.故选 B.【自测题】1.A 解析
19、由题意知 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且 f(-x)=x2-ln|x|=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,其图像关于 y 轴对称,排除 D;又 f(1)=12-ln1=10,所以排除 B,C.故选 A.2.C 解析对于 A,当 x=12时,y0,与图像不符,排除 A;对于 B,当 x=2 时,该函数无意义,与图像不符,排除B;对于 D,当 x=4时,y0,与图像不符,排除 D.故选 C.3.C 解析f(x)=12x2-2x+1=12(x-2)2-1,x1,4,当 x=4 时,f(x)取得最大值 1,故 a=4,b=1,可得g(x)=a|x+b|=4|x+1|=4+1,-1,4-
20、1,-1,对比图像知 C 满足条件.故选 C.小题 3 例 3(1)D(2)A(3)A(4)B 解析(1)f(x)的定义域为|12,关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),则 f(x)为奇函数.当 x(-12,12)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x)单调递增;当 x(-,-12)时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(-2x+1)=ln2+12-1=ln(1+22-1)单调递减.故选 D.(2)f(x)=cosx-2|x|是 R 上的偶函数,f log413=f(log43),f(-2)=f(2),又f(x
21、)在 0,2 上单调递减,2,33,log43 0,2,且 log432f(-2)f(33).故选 A.(3)易知 f(x)在(0,+)上单调递减,且 f(2)=94.由 f(x-1)94得 f(x-1)2 或x-13 或 x-1.故选 A.(4)由题知 2a+log2a=4b+log2b=22b+log2(2b)-122b+log2(2b),又函数 y=2x+log2x 在(0,+)上为增函数,所以 a1.因为1=log510=1+log52,1=log918=1+log92,所以111,所以 0bc10,得-1x0,所以 f(m)-f(m+1)=f(-m-1),所以 -1,-1 1,-1
22、-1 1,故-12ma=0.220.330,1b=0.330.220,c=log0.330.22log0.330.33=1,所以 ca 且 cb.ln0.220.33=0.33ln0.22,ln0.330.22=0.22ln0.33.构造函数 f(x)=ln,x0,所以 f(x)=1-ln2,令 f(x)=0,解得 x=e.当 x(0,e)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以 f(0.22)f(0.33),即ln0.220.22 ln0.330.33,即 0.33ln0.22a.综上,cba.故选 D.小题 4 例 4(1)C(2)D 解析(1)因为函数 y=f(x+1)为奇函数,所以函数
23、f(x)的图像关于点(1,0)对称,即f(-x)+f(2+x)=0.因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(x)=f(-x),于是 f(x)+f(2+x)=0,用 x+2 替换 x,可得f(x+2)+f(4+x)=0,所以 f(x+4)=f(x).当 x1,2时,f(x)=1-|x-2|=x-1.当 x(-3,-2)时,x+4(1,2),f(x)=f(x+4)=(x+4)-1=x+3,所以 f(x)在(-3,-2)上为增函数,且 f(x)0.故选 C.(2)由知 f(x)在4,8上单调递增;由知 f(x)的周期为 8;由知直线 x=4 是 f(x)的图像的对称轴.则a=f(-7)=f(8-7)=
24、f(1)=f(8-1)=f(7),b=f(11)=f(11-8)=f(3)=f(8-3)=f(5),c=f(2020)=f(2020-2528)=f(4),因为 4578,所以 f(4)f(5)f(7),故 cb0,所以函数 y=f(x)在0,1上单调递增.因为 f(3)=f(1),f32=f12,f(2)=f(0),1120,所以 f(3)f32 f(2),故选 D.2.A 解析f(x+2)=f(x),函数 f(x)的周期为 2.当 x3,5时,f(x)=2-|x-4|,当 x1,3时,f(x)=2-|x+2-4|=2-|x-2|.当 x1,2时,f(x)=x,故函数 f(x)在1,2上是增
25、函数,当 x(2,3时,f(x)=4-x,故函数 f(x)在(2,3上是减函数,且 f(x)的图像关于直线 x=4 对称.函数 f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,且 f(x)的图像关于 y 轴对称,故 f cos6=f32f sin6=f12,故 A 中不等式一定不成立,故选 A.3.A 解析函数 y=f(x-1)的图像关于直线 x=1 对称,函数 f(x)的图像关于直线 x=0 对称,即函数 f(x)是偶函数,故 f(-x)=f(x).对任意 xR,都有 f(x+4)=f(x)+2020f(2),f(-2+4)=f(-2)+2020f(2),即 2020f(2)=0,
26、可得 f(2)=0,f(x+4)=f(x)+2020f(2)=f(x),即函数 f(x)的周期为 4,f(2021.67)=f(4505+1.67)=f(1.67)=f(-1.67)=2.故选 A.小题 5 例 5(1)C(2)解析(1)由题知函数图像过点(0.5,1),则 0.250.5-a=1,解得 a=0.5,故 y=2,0 g(t1),t2-t10,所以 V 甲V 乙,所以在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;在 t2 时刻,甲企业与乙企业的污水排放量相等,但此时甲企业污水排放量的瞬时变化率的绝对值比乙企业大,表示甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;在 t
27、3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都小于污水达标排放量,所以甲、乙两企业的污水排放量都已达标,故正确;甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,污水治理能力分别为V1=(0)-(1)1,V2=(1)-(2)2-1,V3=(2)-(3)3-2,所以 V1V3V2,所以甲企业在0,t1这段时间内的污水治理能力最弱,故不正确.综上可得,正确结论的序号是.【自测题】1.D 解析由题意知 sin=2010-31+(2010-3)2=0.021.0004,由 fp=2sin,得 v=2sin=9.03109155010-920.021.0004=9.0315501.00040.04349982(m/h)350(km/h).故选 D.2.A 解析当=1000 时,C=Wlog2(1+1000),当=2000 时,C=Wlog2(1+2000),则log2(1+2000)-log2(1+1000)log2(1+1000)=log22001log21001-11+log21000log21000-1=13lg2.又14=lg1014lg2lg1013=13,根据选项分析,13lg20.1,所以信噪比从 1000 提升至 2000,则 C 大约增加了 10%.故选 A.