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江西省南昌市八一中学2020届高三数学第三次模拟试题 理.doc

1、江西省南昌市八一中学2020届高三数学第三次模拟试题 理一、选择题(共12小题)1.已知集合 A ,集合 B 满足 A B A,则 B可能为( ) A. B. C. D. 2.已知复数z满足 (i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知角终边上一点的坐标为,则( )ABCDA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图,图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是(“同比”指与去年同月相比)()A2019年1至4月的快递业务收入在

2、3月最高,2月最低,差值超过20000万元B2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%,在3月最高C从1至4月来看,该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致6.若a,b为正实数,直线4x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,则ab的最大值为( )A B C D72019年11月26日,联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”(昵称:day),2020年3月14日是第一个“国际数学日”。圆周率是圆的周长与直径的比值,是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。有许多奇妙性质,如

3、莱布尼兹恒等式,即为正奇数倒数正负交错相加等。小红设计了如图所示的程序框图,要求输出的T值与非常近似,则、中分别填入的可以是AS(1)i1,ii+2 BS(1)i1,ii+1CSS+(1)i1,ii+2 DSS+(1)i1,ii+18已知函数ysinax+b(a0)的图象如图所示,则函数y loga(xb)的图象可能是()A B C D9.中国是茶的故乡,也是茶文化的发源地,中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史, 且长盛不衰,传遍全球,为了弘扬中国茶文化,某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”,为了解每壶“金萱排骨茶” 中所放茶叶量x克与食客的满意率y的关系,通过试验调查研究,发现可选择函数模

4、型来拟合y与 x的关系,根据以下数据:可求得y关于x的回归方程为A. B. C. D. 10已知抛物线:的焦点为,点是抛物线上一点,以点为圆心的圆与直线交于,两点,若,则抛物线的方程是( )A. B. C. D. 11如图所示,三棱锥S一ABC中,ABC与SBC都是边长为1的正三角形,二面角ABCS的大小为,若S,A,B,C四点都在球O的表面上,则球O的表面积为A B C D312若函数f(x)2x+sinxcosx+acosx在(,+)单调递增,则a的取值范围是()A1,1B1,3C3,3D3,1二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13已知,且,则向量与的夹角为_15在棱长为3的

5、正方体ABCDA1B1C1D1中,点M,N分别是棱B1C1,C1D1的中点,过A,M,N三点作正方体的截面,将截面多边形向平面ADD1A1作投影,则投影图形的面积为 16. 已知函数,若在区间上方程只有一个解,则实数的取值范围为_.三、解答题:本大题共5小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(12分)已知Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,S36,a3是a1与a9的等比中项(1)求数列an的通项公式;(2)设数列,数列bn的前2n项和为,若,求正整数n的最小值。18.如图,已知三棱柱的所有棱长均为2,()证明:;()若平面平面,为的中点,求与平面所成角的正弦值19. 阿

6、基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家,对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度,某调查小组随机抽取了某市的100名高中生,请他们列举阿基米德的成就,把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”,少于三项的称为“不太了解”。他们的调查结果如下:0项1项2项3项4项5项5项以上理科生(人)110171414104文科生(人)08106321(1)完成如下列联表,并判断是否有的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关?比较了解不太了解合计理科生文科生合计(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.(i)求抽取的文科生和理科

7、生的人数;(ii)从10人的样本中随机抽取3人,用表示这3人中文科生的人数,求的分布列和数学期望.参考数据:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828,.20. 已知椭圆与抛物线有共同的焦点F,且两曲线的公共点到F的距离是它到直线(点F在此直线右侧)的距离的一半。(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,直线l过点F且与椭圆交于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB是否存在直线l,使点M落在椭圆C或抛物线D上?若存在,求出点M坐标;若不存在,请说明理由21 (12分)已知函数(1)当时,总有,求m的最小值(2)对于0,1中任意x恒有,求a的

8、取值范围 (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为。以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(1)写出曲线C的极坐标方程,并求出直线l与曲线C的交点M,N的极坐标;(2)设P是椭圆上的动点,求PMN面积的最大值23. (10分)设函数(1)当a1,b1时,求不等式的解集; (2)若f(x)的最小值为2,求的最小值南昌市八一中学2020届高三数学三模试卷(理科)参考答案一、选择题(共12小题) DDCAC BDCDC AA二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,

9、共20分13 14. -80 15 16. 三、解答题:本大题共5小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 解:(1)公差d不为零的等差数列an,由a3是a1与a9的等比中项,可得,即a1(a1+8d)(a1+2d)2,化为a1d,又S33a1+3d6,可得a1d1,所以数列an是以1为首项和公差的等差数列,故综上;(5分)(2)由(1)可知,(7分)所以,(10分)所以,故n的最小值为505(12分)18. 证明:()取中点,连接,三棱柱的所有棱长均为2,和是边长为2的等边三角形,且,平面,平面平面,平面,平面,(6分)另证:平面()平面平面,且交线为,由()知,平面则,两两

10、垂直,则以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系则,为的中点,设平面的法向量为,则,取,得 设与平面所成的角为,则 与平面所成角的正弦为(12分)19. 解:(1)依题意填写列联表如下:比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算,没有的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关.(5分)(2)(i)抽取的文科生人数是(人),理科生人数是(人).(7分)(ii)的可能取值为0,1,2,3,则,.(10分)其分布列为0123所以.(12分)20.解:(1)由题意知F(1,0),因而c1,即a2b2+1,又两曲线在第二象限内的交点Q(xQ,yQ)到F的距离是它到

11、直线x4的距离的一半,即4+xQ2(xQ+1),得,则,代入到椭圆方程,得 由,解得a24,b23,所求椭圆的方程为 (5分)(2)当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为yk(x+1),由,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2120,设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则,(7分)由于OABM为平行四边形,得,故, 若点M在椭圆C上,则,代入得,解得k无解;若点M在抛物线D上,则,代入得,解得k无解(10分)当直线斜率不存在时,易知存在点M(2,0)在椭圆C上故不存在直线l,使点M落在抛物线D上,存在直线l,使点M(2,0)落在椭圆C上(12分)21 解:(1

12、)令,则(x)x+mln(x+1)1,(x)在0,+)上单调递增,且(0)m1,若m1,(x)在0,+)上单调递增,(x)(0)0,即m1满足条件,若m1,(0)m10,(x)存在单调递减区间0,x0,又(0)0所以存在x0使得(x0)0与已知条件矛盾,所以m1,m的最小值为1(4分)(2)由(1)知,如果,则必有f(x)g(x)成立令,则h(x)(a1)xxcosxx(a1cosx),h(x)x(a1cosx)0,则a1cosx0,a1+cosx,a2若h(x)0,必有f(x)g(x)恒成立,故当a2时,f(x)g(x)恒成立,(8分)下面证明a2时,f(x)g(x)不恒成立令f1(x)f(

13、x)x(x+1)ln(x+1)x,f1(x)ln(x+1),当x0时,f1(x)ln(x+1)0,f1(x)在区间0,1上单调递增,故f1(x)f1(0)0,即f1(x)f(x)x0,故xf(x)g(x)f(x)g(x)x,令,0,所以t(x)在0,1上单调递增,t(0)a20,则一定存在区间(0,m)(其中0m1),当x(0,m)时,t(x)0,则g(x)f(x)xt(x)0,故f(x)g(x)不恒成立综上所述:实数a取值范围是2,+)(12分) 选做题(10 分)22.解:(1)曲线C的方程为x22x+y20转换为极坐标方程为:2cos联立,得M(0,0),(5分)(2)易知|MN|1,直线设点P(2cos,sin),则点P到直线l的距离(其中 )PMN面积的最大值为(10分)23.解:(1)原不等式等价于|x1|+|x+1|3,当x1时,可得x1+x+13,解得1x;当1x1时,可得x+1+x+13,得23成立;当x1时,可得x+1x13,解得x1综上所述,原不等式的解集为x|x;(5分)(2)f(x)|xa|+|x+b|b+a|,当且仅当(xa)(x+b)0时等号成立f(x)的最小值为|b+a|,即|b+a|2又ab0,|b+a|a|+|b|2,当且仅当时,等号成立,的最小值为(10分)

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