1、高考大题规范解答系列(四)立体几何(文)1(2016江苏，16)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC求证：(1)A1B1平面DEC1；(2)BEC1E.解析(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.(2)因为ABBC，E为AC的中点，所以BEAC因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以C1C平面ABC又因为BE平面ABC，所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CACC，所以B
2、E平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.2. (2021河南开封模拟)如图，直棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，E，F分别为棱A1B1，CD的中点，ABEF.(1)求证：ABAD；(2)若ADAA12，求几何体AA1DFBE的体积解析(1)证明：直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，所以A1EDF，又E，F分别为棱A1B1，CD的中点，所以A1EDF，所以A1EFD是平行四边形，所以EFA1D.因为ABEF，所以ABA1D，又ABAA1，A1DAA1A1，所以AB平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以ABAD.(2)由已知AA1ADAB2，ABCD
3、A1B1C1D1为正方体，取AB的中点记为O，连接EO，FO，AB平面EOF，易知EOFA1AD为直三棱柱，BEOF为三棱锥，所以VEOFA1AD2212，VBEOF1，几何体AA1DFBE的体积VVEOFA1ADVBEOF22.3(2021四川乐山调研)如图，边长为4的正方体ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A.(1)求证：ADEF；(2)求三棱锥AEBF的体积解析(1)证明：ADAE，ADAF，AEAFA，AD平面AEF，且EF平面AEF，ADEF.(2)解法一：设点A到面EFD的距离为h，VAEFDVDAEF，hSE
4、FDADSAEF，即h，VAEFBhSEBF2.解法二：，VAEBFVAEFDVDAEF.4(2020河北武邑)如图，在四棱锥VABCD中，底面是边长为2的正方形，其余四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，E为AB的中点(1)在侧棱VC上找一点F，使BF平面VDE，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，求三棱锥EBDF的体积解析(1)F为VC的中点取CD的中点H，连接BH，HF.四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，BE綊DH.四边形BEDH为平行四边形，BHDE.又F为VC的中点，H为CD的中点，FHVD，DEVDD，BHFHH，平面BHF平面VDE.又BF平面BHF，BF平面VDE.(2)
5、F为VC的中点，SBDES 正方形ABCD，VEBDFVFBDEVVABCD.由条件可知VABCD为正四棱锥V在平面ABCD内的射影为BD的中点O.VB，BO，VO.VVABCD22，VEBDF.5(2021百师联盟联考)四面体ABCD中，平面ABC平面BCD，ABC是边长为1的等边三角形，DCBC，且DC长为，设DC中点为M，B关于M的对称点为E，且F，G分别为CE，AD的中点(1)证明：平面FGM平面BCD；(2)求四面体BGMF的体积解析(1)证明：因为平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，CDBC，所以CD平面ABC，因为AC平面ABC，BC平面ABC，所以CDAC，CDBC
6、，又G，M分别为AD，CD的中点，所以GMAC，所以GMCD，同理可得MFCD，因为MFGMM，所以CD平面GMF，因为CD平面BCD，所以平面BCD平面FGM.(2)由(1)可知，MFBC，因为BC平面GMF，MF平面GMF，所以BC平面GMF，故B到平面GMF的距离，即为C到平面GMF的距离，由(1)可知CMCD，即为C到平面GMF的距离，取BD的中点N，则F，M，N三点共线，连接GN，MNBC，GNAB，GMAC，所以SGMN2，因为M为FN中点，所以SGMFSGMN，故VBGMFSGMFCM.6(2021安徽黄山质检)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，且ADBC，四边
7、形ABB1A1为正方形(1)求证：A1C平面AB1D；(2)若BAC60，BC4，求点A1到平面AB1D的距离解析(1)连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为A1B的中点，D是BC的中点，DEA1C，又DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面BCC1B1平面ABC，且BC为它们的交线，又ADBC，AD平面BCC1B1，又B1D平面BCC1B1，ADB1D，且AD2，B1D2.同理可得，过D作DGAB，则DG面ABB1A1，且DG.设A1到平面AB1D的距离为h，由等体积法可得：VA1AB1D
8、VDAA1B1，即ADDB1hAA1A1B1DG，即22h44，h.即点A1到平面AB1D的距离为.(注：本题也可建立空间直角坐标系用向量法求解)7(2020河北省级示范性高中联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，D为BC边上一点，BD，AA1AB2AD2.(1)证明：平面ADB1平面BB1C1C；(2)若BDCD，试问：A1C是否与平面ADB1平行？若平行，求三棱锥AA1B1D的体积；若不平行，请说明理由解析(1)证明：因为AA1平面ABC，所以BB1平面ABC，因为AD平面ABC，所以ADBB1.由BD，AB2，AD1，则AB2AD2BD2，所以ADBC，又BCBB1
9、B，所以AD平面BB1C1C，因为AD平面ADB1，所以平面ADB1平面BB1C1C(2)A1C与平面ADB1平行证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E，因为BDCD，所以DEAA1，且DEAA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，则A1EAD.同理可证CEB1D.因为A1ECEE，所以平面ADB1平面A1CE，又A1C平面A1CE，所以A1C平面ADB1，因为AA1BB1，所以VB1AA1DVBAA1D，又BD，且易证BD平面AA1D，所以VAA1B1DVB1AA1DVBAA1D21.8. (2021河南周口、商丘联考)如图所示，四面体ABCD的顶点都在圆柱的上、下底面圆周上，
10、且AB是下底面圆的直径，BC是圆柱的母线(1)求证：ADCD；(2)若ABBC，异面直线AB与CD所成的角为30，且圆柱的侧面积为4，求四面体ABCD的体积解析如图，过点D作圆柱的母线DE，连接AE，BE.(1)因为母线DE与底面垂直，所以DEBE，因为AB是底面圆的直径，所以AEBE，又AEDEE，所以BE平面AED，由DEBC且DEBC，可知CDBE，所以CD平面AED，又AD平面AED，所以ADCD.(2)圆柱侧面积为ABBC4，所以ABBC2.因为异面直线AB和CD所成的角为30，所以ABE30，所以AE1，BE.因为DEBC，所以D点与E点到平面ABC的距离相等，因为BC平面ABE，所以平面ABC平面ABE，点E到平面ABC的距离转化为点E到AB的距离在RtABE中，可得点E到AB的距离为d.VABCDdSABC22.
