1、十一离散型随机变量的均值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.(多选题)设0p1,随机变量的分布列如下,则下列结论正确的有()012Pp-p2p21-pA.E随着p的增大而增大B.E随着p的增大而减小C.PPD.P的值最大【解析】选BC.由题意E=p2+2(1-p)=(p-1)2+1,由于0p1,所以E随着p的增大而减小,A错,B正确;又p-p2=p(1-p),D错.2.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)为()A.0.765B.1.75C
2、.1.765D.0.22【解析】选B.X的取值为0,1,2,所以P(X=0)=0.10.15=0.015,P(X=1)=0.90.15+0.10.85=0.22,P(X=2)=0.90.85=0.765,E(X)=00.015+10.22+20.765=1.75.3.已知随机变量X的分布列是X123Pa则E=()A.B.C.D.【解析】选C.由分布列的性质可得+a=1,得a=,所以,E=1+2+3=,因此,E=E=2E+=2+=.4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c-3,-2,-1,0,1,2,3,在这些抛物线中,记随机变量=“|a-b|的取值”,则的
3、数学期望E()为()A.B.C.D.【解析】选A.由于对称轴在y轴左侧,故-0,故a,b同号,基本事件有3372=126.的可能性有0,1,2三种,P=,P=,P=.故期望值为0+1+2=.5.设离散型随机变量X的分布列如表,则E(X)=2的充要条件是()X123Pp1p2p3A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2=p3【解析】选B.由题设及数学期望的公式可得p1=p3,则E(X)=2的充要条件是p1=p3.6.已知甲口袋中有3个红球和2个白球,乙口袋中有2个红球和3个白球,现从甲,乙口袋中各随机取出一个球并相互交换,记交换后甲口袋中红球的个数为,则E()=()A.B.C.D
4、.【解析】选A.的可能取值为2,3,4.=2表示从甲口袋中取出一个红球,从乙口袋中取出一个白球,故P=.=3表示从甲、乙口袋中各取出一个红球,或从甲、乙口袋中各取出一个白球,故P=+=.=4表示从甲口袋中取出一个白球,从乙口袋中取出一个红球,故P=.所以E()=2+3+4=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动,该活动有任务需要完成,甲、乙完成任务的概率分别为0.7,0.8,且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为X,则E(X)=.【解析】X的可能取值为0,1,2,且P=0.06,P=0.7+0.8=0.38,P=0.80.7=
5、0.56,故E(X)=00.06+10.38+20.56=1.5.答案:1.58.袋中装有5个同样大小的球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球,记被取出的球的最大号码数为,则E等于.【解析】因为袋中装有5个同样大小的球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球,记被取出的球的最大号码数为,所以的可能取值为3,4,5,P(=3)=0.1,P(=4)=0.3,P(=5)=0.6,所以E()=30.1+0.34+0.65=4.5.答案:4.5三、解答题(每小题10分,共20分)9.为了释放学生压力,某校高三年级一班进行了一个投篮游戏,期间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(
6、每人各投一次为一轮).在相同的条件下,每轮甲、乙两人站在同一位置,甲先投,每人投一次篮,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.经过1轮投篮,记甲的得分为X,求X的分布列及期望.【解析】由题意,随机变量X的可能取值为-1,0,1,则P(X=-1)=,P(X=0)=+=,P(X=1)=,所以随机变量X的分布列为:X-101P则期望为E=-1+0+1=-.10.不透明箱中装有3个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从箱中任取2个球,假设每个球被取出的可能性都相
7、等,记随机变量X为取出的2个球所得分数之和.(1)若P=,求m的值;(2)当m=2时,列出X的分布列并求其期望.【解析】(1)由题意,当取出的2个球都是白球时,此时随机变量X=4.可得P(X=4)=,即=6,即m2+5m-6=0,解得m=1.(2)由题意,随机变量X所有可能的取值为2,3,4,可得P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以随机变量X的分布列为:X234P所以E(X)=2+3+4=.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.已知随机变量X的分布列如下,E(X)=7.5,则ab的值是()X4a910P
8、0.30.1b0.2A.1.8B.2.4C.2.8D.3.6【解析】选C.由题意得:0.3+0.1+b+0.2=1,解得:b=0.4,又E=40.3+0.1a+90.4+100.2=7.5,解得:a=7,所以ab=70.4=2.8.2.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.则E()等于()A.1.48B.0.76C.0.24D.1【解析】选A.随机变量的所有可能取值是1,3,其中=3表示三个景点都游览了或都没有游览,P(=3)=0.40.50.6
9、+0.60.50.4=0.24,P(=1)=1-0.24=0.76,所以的分布列为13P0.760.24E()=10.76+30.24=1.48.3.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则()A.抽取2次后停止取球的概率为B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为C.取球次数的期望为2D.取球3次的概率为【解析】选BD.设取球次数为,可知随机变量的可能取值有1,2,3,则P=,P=,P=.对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(=2)=,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P+P=+=,
10、B选项正确;对于C选项,取球次数的期望为E=1+2+3=,C选项错误;对于D选项,取球3次的概率为P=,D选项正确.4.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜2局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.记X为比赛决出胜负时的总局数,则X的数学期望是()A.B.C.D.【解析】选C.用Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.X的所有可能取值为2,3,4,5,且P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)
11、=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故X的分布列为X2345PE(X)=2+3+4+5=.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知X的分布列为X-101P且Y=aX+3,E=,则a=.【解析】因为E(X)=(-1)+0+1=-,且Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=,即-a+3=,解得a=4
12、.答案:46.已知甲盒中仅有一个球且为红球,乙盒中有3个红球和4个蓝球,从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放在甲盒中(每个小球被取到的可能性相同),放入i个球后,甲盒中含有红球的个数为i(i=1,2),则E+E的值为.【解析】甲盒中含有红球的个数1的取值为1,2,则P=,P=.则E=1+2=;甲盒中含有红球的个数2的值为1,2,3,则P=,P=,P=.则E=1+2+3=.所以E+E=+=.答案:7.(2020浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则P(=0)=;E()=.【解析】由题知,随机取出红球的概率为,随机取出绿球的
13、概率为,随机取出黄球的概率为,的取值情况共有0,1,2,P(=0)=+=,P(=1)=+=,P(=2)=+=,所以E()=1+2=1.答案:18.某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且对这3个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对1个问题,得1分;答错,得0分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为,p.若教师甲恰好答对3个问题的概率是,则p=;在前述条件下,设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的数学期望为.【解析】因为教师甲恰好答对3个问题的概率是,所以p=,解得:p=;由题意
14、,随机变量X的可能取值分别为:0,1,2,3;所以P(X=0)=,P(X=1)=+=,P(X=2)=+=,P(X=3)=,因此,E=0+1+2+3=.答案:三、解答题9.(10分)甲、乙两名射箭选手最近100次射箭所得环数如表所示.甲选手100次射箭所得环数环数78910次数15243625乙选手100次射箭所得环数环数78910次数10204030以甲、乙两名射箭选手这100次射箭所得环数的频率作为概率,假设这两人的射箭结果相互独立.(1)若甲、乙各射箭一次,所得环数分别为X,Y,分别求X,Y的分布列并比较E,E的大小;(2)甲、乙相约进行一次射箭比赛,各射3箭,累计所得环数多者获胜.若乙前
15、两次射箭均得10环,且甲第一次射箭所得环数为9,求甲最终获胜的概率.【解析】(1)X的分布列为X78910P0.150.240.360.25则E(X)=70.15+80.24+90.36+100.25=8.71.Y的分布列为Y78910P0.10.20.40.3则E(Y)=70.1+80.2+90.4+100.3=8.9.因为8.718.9,所以E(X)E(Y).(2)若乙最后一次射箭所得环数为7,则当甲后两次射箭所得环数为9,10或10,9或10,10时,甲最终可获胜;若乙最后一次射箭所得环数为8,则当甲后两次射箭所得环数为10,10时,甲最终可获胜.故甲最终获胜的概率P=0.1(0.360.252+0.252)+0.20.252=0.036 75.