1、第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础巩固一、选择题1给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面其中正确的序号是(B)ABCD2(2018上海)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为(C)A1B2C3D4解析在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有：A1B1，AC，AA1，共3条故选C3(2021云南楚雄州期中联考)如图，在三棱锥DABC中，ACBD，一平面截三棱锥DABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF，EH，则异面直线EG和A
2、C所成角的正弦值是(A)ABCD解析由题意知EHFG，又FG平面ADC，EH平面ADC，EH平面ACD，EHAC，同理HGBD，ACBD，EHHG，记EG与AC所成角GEH为，则sin .故选A4如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是(C)A直线ACB直线ABC直线CDD直线BC解析由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.5(2021湖北名师联盟模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的
3、中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论正确的是(C)A直线EF，AO是异面直线B直线EF，BB1是相交直线C直线EF与BC1所成角为30D直线EF与BB1所成角的余弦值为解析OF綊AE，EF、AO是相交直线，A错；EF、BB1是异面直线，B错；如图，OF綊BE，EFBO，C1BO为EF与BC1所成的角，设正方体棱长为2，则BC12，OC1，BO，BCOCBO，即BOOC1，OBC130，C对；EF与BB1所成角的余弦值为，D错；故选C6(2021河北唐山模拟)下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中(D)A直线AB与直线CD平行B直线AB与直线CD相交C直线AB与直线CD异面垂直D
4、直线AB与直线CD异面且所成的角为60解析还原成几何体如图所示连AH，BH，则CDAH，BAH为AB与CD所成的角，显然AB、CD异面且所成的角为60.7(2021湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1AB2，BAD60，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为(D)ABCD解析解法一：连接A1D、DM，则A1DB1C，MA1D为异面直线A1M与B1C所成的角，由题意A1D2，A1MDM，cosMA1D，故选D.解法二：(理)连AC、BD交于O，由题意知ACBD，如图建立空间直角坐标系，则(1，2)，(1，1)，记
5、A1M与B1C所成角为，则cos .故选D.(文)连接BC1，长方体AC1中BB1BC，B1CBC1，又PC1平面BCC1B1，B1CPC1，B1C平面PBC1，B1CPB即PB与B1C所成角为90，故选D.8如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是(D)解析在A图中分别连接PS，QR，易证PSQR，P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQRS，P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，四点不共面，故选D.9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交
6、平面C1BD于点M，则下列结论错误的是(D)AC1，M，O三点共线BC1，M，O，C四点共面CC1，O，A1，M四点共面DD1，D，O，M四点共面解析连接A1C1，AC，则AC过点O，即ACBDO，又A1C平面C1BDM，所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，所以C1，M，O三点共线，所以选项A，B，C均正确，选项D错误10(理)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(D)A1条B2条C3条D4条(文)(2021吉林长春模拟)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1BC，P为C1D1的中点，则
7、异面直线PB与B1C所成角的大小为(D)A30B45C60D90解析 (理)如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1AA1，BCAD，所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，即过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条故选D.(文)连BC1，在长方体AC1中，BB1BC，B1CBC1，又PC1平面BCC1B1，B1CPC1，B1
8、C平面PBC1，B1CPB，即PB与B1C所成角为90，故选D.11(2021山东青岛调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，则平面AC1E截该正方体所得的截面面积为(D)A5B2C4D2解析取BB1的中点F，连AF、C1F，易知AFC1E即为平面AC1E截正方体所得的截面，且AFC1E为菱形，S四边形AFC1EEFAC1222，故选D.12(2021湖南湘东六校联考)下图是一正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为(C)ABCD解析将展开图折起还原成四面体，如图所示，取AF的中点H，连GH，HE，则GH綊BC，且H
9、EGE，HGE即为异面直线EG与BC所成角，不妨设正四面体棱长为2，则GH1，GE，cosHGE，故选C二、填空题13(原创)三个平面可将空间分成_4或6或7或8_部分解析三个平面可将空间分成4或6或7或8部分14(2021山东师大附中模拟)如图，在正方体ABCDABCD中，BB的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与DN，所成的角是.解析取CC的中点H，连DH，则DHAM，在正方形CDDC中显然DNDH，DNAM，即AM与DN所成的角为.15(2021云南模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则异面直线AB1与C1B所成的角是_90_.解析将正三棱柱补成四棱柱，如图，设BB1
10、，则AB2，连接AD1，BD1，则BC1AD1，D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角，又由题意易知AB1AD1，B1D12，B1DABAD，B1AD190.另解1：本题若取A1B1的中点D，连DC1，易证AB1平面BDC1，从而AB1BC1.另解2：可建立空间直角坐标系，用向量法求解B组能力提升1(2021甘肃诊断)在棱长均相等的四面体OABC中，M，N分别是棱OA，BC的中点，则异面直线MN与AB所成角的大小为(B)A30B45C60D90解析取OB中点P，AB中点Q，连接MP，PN，CQ，OQ，由中位线定理可知MPAB，则PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角，MPAB, PN
11、OC、OQAB，CQAB，且CQOQQ，所以AB平面OCQ，则ABOC，所以PMPN，四面体OABC棱长均相等，则PM PN，所以MPN为等腰直角三角形，所以PMN45，故选B.2(2021河北衡水中学调研)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(D)ABCD解析由题意可知ADBC，EAD即为异面直线AE与BC所成的角，设圆柱上、下底面圆心为O，O1，连OE、OA、ED，不妨设正方形ABCD的边长为2，则AO，从而AEED，则cosEAD，即AE与BC所成角的余弦值为，故选D.3如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图，M，N，P，Q分
12、别是边BF，AB，CD，DH的中点，则在这个正四棱锥，下列四个结论正确的个数为(B)MN和CD平行CE和PQ平行MN和PE所成的角为60EP和AB垂直A1B2C3D4解析正棱锥直观图如图，显然MN与CD异面，错；对；连AP，由MNAE知，AEP为异面直线MN与PE所成的角，设四棱锥的棱长为2a，则APa，PEa，cosAEP，错；PECD，CDAB，PEAB，对故选B.4(理)(2021广东广州六区联考改编)在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，P是平面DCC1D1内不同的两点，N，Q是平面ABCD内不同的两点，且M，P，N，QCD，E，F分别是线段MN，PQ的中点则下列结论正确的个数是(B
13、)若MNPQ，则EFCD若E，F重合，则MPCD若MN与PQ相交，且MPCD，则NQ可以与CD相交若MN与PQ是异面直线，则EF不可能与CD平行A1B2C3D4(文)(2021福建漳州二模)在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点，则异面直线AD1与OC1所成角的余弦值为(C)ABCD解析(理)当P、Q分别与D1、A重合，M、N分别为CC1、BC的中点时，MNPQ，但显然EF与CD相交，错；当E、F重合时，M、P、N、Q共面，又由MPENQE，MPENQE，MPNQ，从而MP平面ABCD，MPDC，故对；MN与PQ相交，则MNPQ共面，由MPCD知MP平面ABCD，MPCD，NQCD
14、，故错；当PMCD时，若EFCD，则PMEF，则PQ与MN共面，与PQ、MN是异面直线矛盾；当PM与CD相交时，设其交点为S，连QS，作MRPQ交SQ于R，连RN，连SF交RM于H，则H为MR的中点，HERN，HE平面ABCD，若EFCD，则EF平面ABCD，从而平面EHF平面ABCD，FH平面ABCD，这与FHCDS矛盾，故EF不可能与CD平行，对故选B.(文)由题意知OBD，连BC1，则BC1AD1，OC1B即为AD1与OC1所成的角，设正方体棱长为a，则BOa，BC1a，又BC1DC1，C1OBD，sinOC1B，从而cosOC1B，故选C5(理)(2021安徽省安庆模拟)九章算术卷第五
15、商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”现有阳马SABCD，SA平面ABCD，AB1，AD3，SA.BC上有一点E，使截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于.(文)(2021云南玉溪质检)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为棱AA1与AB上的点，其中AE1，AF2，平面经过点D1，E，F，则截此正方体所得的截面为(C)A三角形B四边形C五边形D六边形解析 (理)要使截面SDE的周长最短，则SEED最短，将底面ABCD沿BC展开成平面图形ABCD(如图)，连接SD，交BC于E，则SEEDSEEDSD，当SED共线时等号成立，此时，由AB1，SA，则SB2，故SA3，ADAD3，故BE2，故EFCD交AD于F，连接SF，则SE与CD所成角为SEF，易得SFEF，由于SE2，EF1，cosSEF.故答案为.(文)作直线ED1交直线AD于H，作直线FH交CB于M，交DC于N，作直线D1N交CC1于R，连MR截面D1EFMR即为所求，故选C