1、专题5 导数与函数的零点真题再研析提升审题力【典例】(12分)(2020全国卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【审题正向思维】(1)函数求导解不等式确定单调区间;(2)问题转化方程有两解构造函数单调性求解.【标准答案】(1)当a=1时,f(x)=ex-(x+2),f(x)=ex-1,2分令f(x)0,解得x0,解得x0,4分所以f(x)的减区间为(-,0),增区间为(0,+);5分(2)若f(x)有两个零点,即ex-a(x+2)=0有两个解,因为f(-2)=e-20,所以f(x)的解一定不是-2,所以a
2、=有两个解,令h(x)=(x-2),7分则有h(x)=,令h(x)0,解得x-1,令h(x)0,解得x-2或-2x-1,所以函数h(x)在(-,-2)和(-2,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,9分且当x-2时,h(x)h(-1)=,11分满足条件的a的取值范围是:.12分【深度解读】测试目标(1)利用导数研究函数的单调性;(2)构造函数,结合函数单调性求解测试目标数学抽象:由零点问题抽象出方程有解;逻辑推理:函数单调性与方程有解;数学建模:构造函数;数学运算:函数求导,解不等式【模拟考场】已知函数f(x)=ex-1,g(x)=+x.(其中e是自然对数的底数,e=2.718 28)(
3、1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;(2)说明方程f(x)=g(x)的根的个数.【解析】(1)h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x,所以h(1)=e1-1-1=e-30,又h(x)在(1,2)上连续,所以h(x)在区间(1,2)上有零点.(2)由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x.由g(x)=+x知x0,+),而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1,2)内有零点,因此h(x)在0,+)上至少有两个零点.h(x)=ex-1,记(x)=ex-1,则(x)=ex+当x(0,+)时,(x)0,因此(x)在(0,+)上单调递
4、增,易知(x)在(0,+)内至多有一个零点,即h(x)在(0,+)内至多有两个零点,则h(x)在0,+)上有且只有两个零点,所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.【考场秘技】1.求解函数零点个数问题的三个步骤第一步:转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题;第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;第三步:结合图象求解.2.根据函数零点情况求参数范围(1)要注意端点的取舍;(2)选择恰当的分类标准进行讨论.3.求与函数零点有关的参数范围的四个技巧(1)对函数求导;(2)分析函数在区间(a,b)上的单调情况;(3)数形结合分析
5、极值点;(4)依据零点的个数确定极值的取值范围,从而得到参数的范围.【万能模板】利用导数研究函数零点的思路第一步求导数:利用运算法则求导,要注意函数的定义域;第二步找关系:根据几何意义,极值点,极值等寻求等量关系;第三步寻突破:利用第一问的结论,或函数的单调性,结合图形,寻找讨论的依据;第四步逐段清:分段讨论,确定每段的结论;第五步得结论:根据每段的情况,下结论.【阅卷点评】1.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如分类讨论确定是否存在零点.2.计算分:计算准确是根本保证.3.规范分:审视思路,规划并书写规范步骤.4.重视转化思想在研究函数零点中的应用,如方程的解、两函数图象的交点均
6、可转化为函数零点,充分利用函数的图象与性质,借助导数求解.1.(参数范围)若函数f(x)=ax3-bx+4(a,bR),当x=2时,函数f(x)有极值-.(1)求函数的解析式;(2)求函数的极值;(3)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.高考演兵场检验考试力1.【解析】(1)f（x）=3ax2-b,由题意知解得故所求的解析式为f(x)=x3-4x+4;(2)由(1)可得f(x)=x2-4=(x2)(x+2),令f(x)=0,得x=2或x=-2,列表如下:所以当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=,当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-;(3)由(2)知,当x2时,f
7、(x)为增函数;当-2x2时,f(x)为减函数,所以函数f(x)=x3-4x+4的图象大致如图,由图可知当-k 时,f(x)与y=k有三个交点,所以实数k的取值范围为2.(零点个数)已知f(x)=ex-mx.(1)若曲线y=ln x在点(e2,2)处的切线也与曲线y=f(x)相切,求实数m的值;(2)试讨论函数f(x)零点的个数.2.【解析】(1)曲线y=ln x在点(e2,2)处的切线方程为y-2=(x-e2),即y=x+1.令切线与曲线f(x)=ex-mx相切于点(x0,-mx0),则切线方程为y=(-m)x-(x0-1),所以所以令m+e-2=t,则t(1-ln t)=1,记g(t)=t
8、(1-ln t),g(t)=1-(1+ln t)=-ln t,于是,g(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1,于是t=m+e-2=1,m=1-e-2.(2)f(x)=ex-m,当m0恒成立,f(x)在R上单调递增,且f(0)=10,-10时,令f(x)0,则xln m,即函数f(x)的增区间是(ln m,+),同理,减区间是(-,ln m),所以f(x)min=m(1-ln m).()若0m0,f(x)在R上没有零点;()若m=e,则f(x)=ex-ex有且仅有一个零点;()若me,则f(x)min=m(1-ln m)e时,h(m)单调递增,h(
9、m)h(e)0.所以f(2ln m)=m2-2mln m=m(m-2ln m)m(e-2)0,又因为f(0)=10,所以f(x)在R上恰有两个零点,综上所述,当0me时,函数f(x)没有零点;当me时,f(x)恰有两个零点.3.(零点与单调性)已知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=-1,当x0时,函数g(x)=x2-2mf(x)(m0)有且只有一个零点,求m的值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=当a0时,f(x)0,所以函数f(x)在(0,+)上单调递增.当a0时,令f(x)=0,得x=,由f(x)0得0 x ,由f(x)
10、,所以函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由题意知g(x)=x2-2mln x-2mx(m0),则g(x)=,x0,令g(x)=0,得x1=0(舍去),x2=当x(0,x2)时,g(x)0,g(x)在(x2,+)上单调递增;所以g(x)的最小值为g(x2),因为函数g(x)有且只有一个零点,所以g(x2)=0.由得所以2mln x2+mx2-m=0,因为m0,所以2ln x2+x2-1=0.(*)设函数y=2ln x+x-1,易知当x0时,该函数是增函数,且当x=1时,y=0,所以方程(*)的解为x2=1,所以x2=1,解得m=.4.(零点与最值)已知函数f(x)=(1)当a=-2时
11、,求f(x)的最值;(2)讨论f(x)的零点个数.【解析】(1)因为a=-2,所以f(x)=+2,所以f(x)=-,令f(x)0,得x0;令f(x)0,则f(x)在(,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,故f(x)在x=0时取得最大值,f(0)=3,没有最小值.(2)令f(x)=-a=0,得a=.设g(x)=,则g(x)=当x0时,g(x)0,当x0,所以g(x)在(,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,所以g(x)g(0)=1,而当x-1时,g(x)0;当x-1时,g(x)1时,方程g(x)=a无解,即f(x)没有零点;当a=1时,方程g(x)=a有且只有一解,即f(x)有唯一的零点
12、;当0a1时,f(x)没有零点;当a=1或a0时,f(x)有唯一的零点;当0a1时,f(x)有两个零点.5.(零点与极值)已知函数f(x)=(x+2)ln x+ax2-4x+7a(aR).(1)若a=,求函数f(x)的所有零点;(2)若a ,证明函数f(x)不存在极值.【解析】(1)当a=时,f(x)=（x+2）ln x+x2-4x+,函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=ln x+x-3.设g(x)=ln x+x-3,则g(x)=当0 x1时,g(x)1时,g(x)0,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当x0时,g(x)g(1)=0(当且仅当x=1时取
13、等号).即当x0时,f(x)0(当且仅当x=1时取等号).所以函数f(x)在(0,+)上单调递增,至多有一个零点.因为f(1)=0,所以x=1是函数f(x)唯一的零点.所以若a=,则函数f(x)的所有零点只有x=1.(2)方法一:因为f(x)=(x+2)ln x+ax2-4x+7a,函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=ln x+2ax-4.当a 时,f(x)ln x+x-3,由(1)知ln x+x-30.即当x0时f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.所以f(x)不存在极值.方法二:因为f(x)=(x+2)ln x+ax2-4x+7a,函数f(x)的定义域为(0，+),且f
14、(x)=ln x+2ax-4.设m(x)=ln x+2ax-4,则m(x)=+2a=设h(x)=2ax2+x-2(x0),则m(x)与h(x)同号.当a 时,由h(x)=2ax2+x-2=0,解得x1=0.可知当0 xx2时,h(x)0,即m(x)x2时,h(x)0,即m(x)0,所以f(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+)上单调递增.由(1)知ln x+x-30.则f(x2)=ln x2+x2-3+(2a1)x2(2a1)x20.所以f(x)f(x2)0,即f(x)在定义域上单调递增.所以f(x)不存在极值.6.(零点与极值、单调性)已知函数f(x)=xln x+x2-ax(aR).
15、(1)若a=3,求f(x)的单调性和极值;(2)若函数y=f(x)+至少有1个零点,求a的取值范围.6.【解析】(1)当a=3时,f(x)=xln x+x2-3x,所以f(x)=ln x+2x-2,当0 x1时,ln x0,2x-20,所以f(x)=ln x+2x-21时,ln x0,2x-20,所以f(x)=ln x+2x-20,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=-2,无极大值.(2)因为f(x)+=xln x+x2-ax+,由xln x+x2-ax+=0得a=ln x+x+,令g(x)=ln x+x+,则g(x)=由
16、g(x)=0得xex=1.令h(x)=xex,当x0时,h(x)=(x+1)ex0,所以h(x)=xex在(0,+)上单调递增,因为1,所以存在x0 ,使得x0 =1,且当x(0,x0)时,h(x)1,即xex-11,即xex-10,因为x+10,x2ex0,所以当x(0,x0)时,g(x)0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,所以g(x)在x=x0处取得最小值g(x0)=ln x0+x0+,因为x0 =1,所以ln =ln 1=0,即ln x0+x0=0,所以ln x0+x0+=0+=1,即g(x0)=1,所以当aa,所以函数y=f(x)+至少有1个零点,故a的
17、取值范围是1,+).7.(与数列结合)已知函数f(x)=xln x+1-ax(aR).(1)讨论f(x)的零点个数.(2)正项数列an满足a1=,an+1=ln +1(nN*),求证:7.【解析】(1)f(x)的定义域为,令f(x)=ln x+1-a=0,则x=ea-1.当0 xea-1时,f(x)ea-1时,f(x)0,所以f(x)在(0,ea-1)上单调递减,在(ea-1,+)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(ea-1)=1-ea-1.当a0,此时f(x)无零点,当a=1时,1-ea-1=0,此时f(x)只有一个零点,当a1时,1-ea-10,又eaea-1,所以f(x)在(ea-1,
18、+)上有且只有一个零点.f(e-a)=1-2ae-a=,令h(a)=ea-2a,h(a)=ea-2,因为a1,所以h(a)0,所以h(a)h(1)=e-20,所以2a0,所以f(x)在(0,ea-1)上有且只有一个零点.综上:当a1时,函数有两个零点.(2)由(1)知:当a=1时,f(x)0,所以ln x1-,所以an+1=ln +12-所以所以所以8.(探索问题)已知函数f(x)=ax-ln x-a(aR).(1)求函数f(x)的极值;(2)是否存在实数a,使方程f(x)=0有两个不同的实数根?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意知f(x)的定义域为(0,
19、+),f(x)=a-当a0时,f(x)0时,令f(x)=0,得x=.当0 x 时,f(x)时,f(x)0,所以函数f(x)在上单调递增.此时,函数f(x)有极小值,为f =1-a+ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)有极小值f =1-a+ln a,无极大值.(2)假设存在实数a,使得方程f(x)=0有两个不同的实数根,即函数f(x)有两个不同的零点.当a0时,由(1)知函数f(x)在(0,+)上单调递减,所以方程f(x)=0不存在两个不同的实数根.当0a1.因为f(1)=0,所以由(1)知f f(1)=0.f =+2ln a-a,令g(a)=+2ln a-a(0a1),则g(a)=-+-1=-+2ln 1-1=0,所以f =+2ln a-a0.此时,函数f(x)在上也有一个零点,所以,当0a1时,0 1,因为f(1)=0,所以由(1)知f 0时,h(a)0,h(a)单调递增,所以当a0时,h(a)h(0)=10,所以eaa0,则又f =ae-a0,所以函数f(x)在上也有一个零点,所以,当a1时,函数f(x)有两个不同的零点,综上所述,当a(0,1)(1,+)时,函数f(x)有两个不同的零点,即方程f(x)=0有两个不同的实数根.
