1、 2012 年大连市高三第二次模拟考试 理科数学参考答案 说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一选择题 1.C2.B3.D4.D5.A 6.B7.B8.A9.B10.A11.D12.C二填空题 6
2、13.14.(,11,)15.4116.23 332.15 .1614 nnn 三解答题 17.解()得 分 为4分，可 以 前4次 中，第5次 不 中，概 率 为52)53(4，3 分或者前4次中2次，第5次中，概率为2324)52()53(C，6 分所以得分为4分的概率为52)53(4+625162)52()53(2324C8 分()得 分 为4分 的 投 篮 点 的 个 数 为 X 服 从 二 项 分 布162(5,)625B，所 以1621625625125EX 12 分18.解()2()sin23cos22sin(2)3f xa bxxx 4 分()4sin(2)24112(22nn
3、nfnan6 分所以)2()12(432122222222nnS n 8 分又14)2()12(22nnn 10 分所以nnnnS n2222)143(22212 分19.（）证法一：取AAEMABEMCEMMBA21/中点，为，又、，连接中点CCBBAA/,为平行四边形，中点，为FCEMEMCFAACFCCF/21/MCEF/,2 分又CBAMCCBAEF平面平面,CBAEF平面/4 分证法二：形为斜边的等腰直角三角是BCBCCBCCBCC,2,2OCAOOBC、连接中点取,BCOCBCAO,有 面ABC面BBCC,且 面A B C 面BCBBCCAO面BBCC,OC面 ABC如图建立空间直
4、角坐标系xyzO)0,0,1(),0,0(),10,0(),0,0,1(BbACC)0(b),0,21,21(),2,0,21(FbE)2,21,1(bEF设平面CBA的法向量为),(zyxn 又)0,1,1(CB,),0,1(bACCA00bzxyxn的一组解为)1,(bbnFEACBBCAM FEACBBCAy z O x 022bbbEFnEFn 又CBAEF 平面CBAEF平面/4 分()解：利用（）中证法二的坐标系，设平面ACAC的法向量为),(1zyxn 又)0,1,1(CC,),0,1(bAC00bzxyx1n的一组解为)1,(1bbn 5 分)2,21,1(bEF又324451
5、222bbbEFnEFn6 分解得1b，210b12bAC8 分同理可求平面BAA 的一个法向量)1,1,1(2n31cos21nn11 分所以所求二面角的大小为31arccos。12分20 解（）显然 BC 斜率不为 0，所以可设 BC 方程为myxn，与椭圆联立得：042)3(222nmnyym，设),(),(2211yxCyxB，所以34,322221221mnyymmnyy.2 分因为 ABAC，所 以044)(2()1(),2(),2(2212122211nnyymmnyymyxyx，4 分带入化简可得0232 nn，即1n或2（舍）.所以 BC 恒过定点（-1，0）6 分()ABC
6、面积2222221)3(334394|21mmmmyyS，9分设31,0(312 mt，所以234ttS，当31t时，S 最大即0m时S最大为1.12 分21解：（）xaxaxaxaxaxxaxaaxxaaaxxf)(1()(1()1()1()(222（1）当0a时，0)(xf在),0(恒成立，()f x 在),0(递减；（2）当1a时，0)(xf解集为),1(aa，0)(xf解集为),()1,0(aa，()f x 在),1(aa递减，在),(),1,0(aa上递增；（3）当10 a时，0)(xf解集为)1,(aa，0)(xf解集为),1(),0(aa，()f x 在)1,(aa递减，在),1
7、(),0(aa上递增；（4）当1a时，0)(xf解集为)1,0(),1(，()f x 在)1,0(递增，在),1(上递增，且()f x 在1x不间断，所以()f x 在),0(递增；4 分（）由（）知1a，xxxxfln22)(2，要比较221xx 与1的大小，只需比较2x与12x的大小.6 分因为)2ln(ln12)2()(3)2()(111211112xxxxxfxfxfxf设)2ln(ln12)(111211xxxxxF.8 分则)2()1(2)(11311xxxxF当)1,0(1 x时，0)(1 xF，)(1xF为减函数，当)2,1(1 x时，0)(1 xF，)(1xF为增函数，所以0
8、)1()(1 FxF.10 分所以)2()(12xfxf，又因为()f x 为增函数，所以122xx，所以1221 xx，即221xxa.12 分22（）解：连接 OD.设O 的半径为 r.BC 切O 于点 D，ODBC.C=90，ODAC，OBDABC.ODAC=OBAB，即 r6=10-r10.解得 r=154，O 的半径为154.4 分（）结论：四边形OFDE是菱形.5 分证明：四边形 BDEF 是平行四边形，DEF=B.DEF=12DOB，B=12DOB.ODB=90，DOB+B=90，DOB=60.DEAB，ODE=60.OD=OE，ODE 是等边三角形.OD=DE.OD=OF，DE
9、=OF.四边形 OFDE 是平行四边形.OE=OF，平行四边形OFDE是菱形.10 分23 解：设),(P，则 由|1 2OMOP得),12(M，所 以3c o s12，即OBFDCEA)0(cos4，4 分化为平面直角坐标系的方程为)0(4)2(22xyx，5 分mcossin化为平面直角坐标系的方程为0mxy，6 分因 为 有 且 只 有 一 个 点 P 在 直 线mcossin上，所 以0mxy和)0(4)2(22xyx相切，即m222=-?8 分或过原点，即0m.10 分24解：21,13221,32,13|12|2|xxxxxxxx3 分当2x时，04)13(3322xxxx恒成立；当221x时，02)3(3322xxxxx在)0,21(恒成立；当21x时，026)13(3322xxxxx恒成立；所以2,3320,30,33)(22xxxxxxxxxf，6 分当0 x时，3)(xf；当20 x时，5)(xf；当2x时，5)(xf.综上：)(xf最大值为5.10分