1、江西省南昌市八一中学2020届高三数学第三次模拟考试试题 文（含解析）一选择题1.已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求【详解】，所以 .故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z与其共轭复数满足，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】设，则，得到答案.【详解】设，则，故，.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的相关性质依次判断即可得出结果.【详解】为增函数,，为增
2、函数,，,即,，,.故选:A.【点睛】本题考查函数性质在比较大小中的应用,属于基础题.4.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】边长为3的正方形的面积S正方形9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得，由此能估计阴影部分的面积【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，则边长为3的正方形的面积S正方形9
3、，设阴影部分的面积为S阴，该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，解得S阴，估计阴影部分的面积是故选：B【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5.若满足约束条件，且，则（ ）A. z的最大值为6B. z的最大值为8C. z的最小值为6D. z的最小值为8【答案】C【解析】【分析】作出可行域，即可由平移法求出的最值【详解】作出可行域，如图所示：由图可知，当直线经过点时，取得最小值为6，无最大值故选：C【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的解法，属于基础题6.函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【
4、答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊值代入即排除错误选项,得出结果.【详解】，为奇函数,排除选项D,因为,排除选项A, ,排除选项B,故选:C.【点睛】本题考查已知函数解析式判断函数图象问题,考查函数性质,及特殊值代入的排除法,属于基础题.7.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则或【答案】A【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于：若，则或，故错误；正确.故选：.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.8
5、.设为等比数列的前项和，且关于的方程有两个相等的实根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为为等比数列，所以，故原方程可以化为.又该方程有两个相等的实数根，故，解得（舎）或，又，故选C.9.若函数（其中，图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论【详解】根据已知函数其中，
6、的图象过点，可得，解得：再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题10.设是的前项和，且，则( )A. -66B. 77C. 88D. 99【答案】C【解析】【分析】由与的关系可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列前项和公式求解即可.【详解】解：因为，所以，所以.又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以.故选：C.【点睛】本题考查了与的关系，重点考查了等差数列前项和公式，属基础
7、题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2a2的切线交双曲线右支于点M，若tanF1MF22，又e为双曲线的离心率，则e2的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用双曲线的定义可得|MF1|MF2|2a，设|MF2|t，则|MF1|2a+t，sinMF1F2，然后在三角形MF1F2中由正、余弦定理列方程可解得离心率的平方.【详解】如图：|MF1|MF2|2a，设|MF2|t，则|MF1|2a+t，sinMF1F2，若tanF1MF22，则sinF1MF2，cosF1MF2，在MF1F2中，由正弦定理得，即，ta，|MF2|a，|MF1|（2
8、）a，由余弦定理得4c25a2+（9+4）a22a（2）a，4c2（10+2）a2，c2a2，e2.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是双曲线的离心率的求法，考查圆的性质的运用，属于中档题.12.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数零点定义可知有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在和的解析式，可求得与两段函数相切时的斜率，即可求得的取值范围.【详解】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点.画出函数图像如下图所示：由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，当时，设对应二次函数的顶点为
9、，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；故当有四个不同交点时.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二填空题13.曲线在点处的切线的斜率为_.【答案】【解析】【分析】先求出函数的导数,然后求出切点处的导数值即可.【详解】由已知得,所以ky|x11.故答案为：1.【点睛】本题考查导数几何意义、导数的计算.属于基础题.14.若向量与向量共线，则_【答案】【解析】【分析】先由向量共线求
10、出，然后计算.【详解】解：因为，所以，解得所以故答案为.【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示，与向量数量积的坐标运算，属于基础题.15.已知点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则点的横坐标为_.【答案】【解析】【分析】设直线：，由直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得、坐标之间的关系，再结合，求出点B的横坐标.【详解】由题意，抛物线的焦点，设直线：，由，联立得，由韦达定理得，.，又，.由联立解得：，.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及向量的坐标运算，属于基础题.16.已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为_.【
11、答案】【解析】【分析】设球的半径为，可得，设正四棱柱的底面边长，高为， ，利用基本不等式可得该正四棱柱侧面积的最大值.【详解】设球的半径为，则，解得，设正四棱柱的底面边长，高为，则正四棱柱的体对角线为球的直径，则有，即，由基本不等式可得，所以，当且仅当，即时，等号成立. 故该正四棱柱的侧面积为，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积的计算,同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算,涉及了利用基本不等式求最值,解题的关键就是要根据题意得出定值条件,考查计算能力，属于中等题三.解答题17.在锐角ABC中，（1）求角A；（2）求ABC的周长l的范围.【答案】（1）.（2
12、）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得，可得；（2）利用正弦定理将表示为的函数，根据锐角三角形得的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.【详解】（1），所以，所以，所以，因为，所以， ，所以.（2），所以,所以，所以因为ABC是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题.18.某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班名学生每周课下钻研数学时间(单位：小时)与高三下学期期中考试数学解答题得分，数据如下表：24681
13、012303844485054（1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分与该学生课下钻研数学时间的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为小时其数学考试中的解答题得分；（2）从这人中任选人，求人中至少有人课下钻研数学时间不低于小时的概率.参考公式：，其中， ；参考数据：【答案】（1）线性回归方程： ，预测值为：分（2）【解析】【分析】（1）先求均值，再代入公式求，即得线性回归方程；在线性回归方程令，解得预测值；（2）利用枚举法确定总基本事件数以及所求事件包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1） 当时， 预测值为：分（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时
14、间不低于8小时为事件A” 所有基本事件如下：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，6)，(4，8)，(4，10)，(4，12)， (6，8)，(6，10)，(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12)共15个基本事件事件A包含(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，8)，(4，10)，(4，12)，(6，8)，(6，10)(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12)共12个基本事件所以【点睛】本题考查线性回归方程、利用线性回归方程估计、古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.19.如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，底面
15、，点分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得三棱锥体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）存在，为中点.【解析】【分析】（1）由底面推出，结合可推出平面，线面垂直推出面面垂直；（2）过G作，由面面垂直性质证明平面ABC，再利用等体积法由即可求得，根据线面垂直的性质及中位线的性质即可求得点G的位置.【详解】（1）因底面，底面，所以，因为是等边三角形且E为AC的中点，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）过G作,平面ABC，平面PAB，平面PAB平面ABC又平面PAB平面ABC=AB，平面A
16、BC,，平面ABC，平面ABC，,，为PB中点.【点睛】本题考查面面垂直的判定及性质、线面垂直的性质、等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20.已知.（1）当时，求证：在上单调递减；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得导数，结合指数函数与余弦函数的性质，求得，即可得到结论.（2）当时，可得命题成立，当时，设，求得，求得函数的单调性，得到，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，由时，则，当时，所以，所以在上单调递减. （2）当时，对于，命题成立，当时，由（1），设，则， 因为，所以，在上单调递增，又， 所以，所以
17、上单调递增，且，当时，所以在上单调递增，因为，所以恒成立；当时，因为在上单调递增，又当时，所以存在，对于，恒成立.所以在上单调递减，所以当时，不合题意.综上，当时，对于，恒成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题21.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当
18、点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”.已知椭圆E：上的点的下辅助点为（1，1）.（1）求椭圆E的方程；（2）若OMN的面积等于，求下辅助点N的坐标；（3）已知直线l：xmyt0与椭圆E交于不同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，满足，求直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）直接根据定义先求得a，进而得到b即可；（2）设点N（x0，y0）（y01），则点M（x0，y1）（y10），根据椭圆方程以及面积可得x0y1，将其与联立得到N坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，结合韦达定理得，因为且P在椭圆上可得4t2m2+
19、2，表示出三角形面积结合基本不等式即可求其最小值.【详解】解：（1）椭圆上的点（1，）的下辅助点为（1，1），辅助圆的半径为R，椭圆长半轴为aR，将点（1，）代入椭圆方程中，解得b1，椭圆E的方程为；（2）设点N（x0，y0）（y01），则点M（x0，y1）（y10），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，x02+y022，故y022y12，即y0y1，又SOMNx0（y1y0），则x0y1，将x0y1与联立可解得或，下辅助点N的坐标为（，）或（，）；（3）由题意可设A（x1，y1），B（x2，y2）.联立整理得（m2+2）y2+2mty+t220，则8（m2+2t2）0.根据韦达定理得
20、，因为.所以，因为点P在椭圆E上，所以，整理得，即4t2m2+2，在直线l：xmyt0中，由于直线l与坐标轴围成三角形，则t0，m0.令x0，得，令y0，得xt.所以三角形面积为,当且仅当m22，t21时，取等号，此时240.所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为.【点睛】本题以新概念为载体，旨在考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查通性通法的运用，计算量较大，对计算能力的要求较高，属于较难题目.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M
21、，求的值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线的参数方程为，代入方程得到，代入计算得到答案.【详解】（1）直线，故，即直线的直角坐标方程为. 因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即. （2）设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标系方程得.设，对应的参数分别为，则，所以M对应的参数，故.【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，使得恒成立，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）先由题意得，再分别讨论，三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到，再由题意，可得，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式 可化为，当时， ，所以无解；当时， 所以；当时， ，所以，综上，不等式的解集是.（2）因为 又，使得 恒成立，则，解得.所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
