1、第6讲对数与对数函数知 识 梳 理1对数的概念如果a(a0，a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b1)alogaNN；logaaNN；logbN；bnlogab；logab，推广logablogbclogcdlogad.(2)对数的运算法则(a0，且a1，M0，N0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logalogaM.3对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)
2、定义域：(0，)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x1时，y0性质(4)当x1时，y0当0x1时，y0(5)当x1时，y0当0x1时，y0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数辨 析 感 悟1对数运算的辨析(1)(2013陕西卷改编)设a，b，c均为不等于1的正实数，则logablogcblogca.()logablogcalogcb.()loga(bc)logablogac.()loga(bc)logablogac.()(2)(2013中山调研改编)若log4log3(log2x)0，则.()2对数函数的理解(3)(2013吉林调研改编)函数ylog3(2x4)的定义域为(
3、2，)()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()(5)(2014长沙模拟改编)函数ylogax(a0，且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a2.()(6)log2x22log2x.()感悟提升三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0a1和a1分类讨论，否则易出错考点一对数的运算【例1】 (1)(2013四川卷)lg lg 的值是_(2)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x4时，f(x)f
4、(x1)则f(2log23)_.解析(1)lg lglg lg 101.(2)由于1log232，则f(2log23)f(2log231)f(3log23).答案(1)1(2)规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧【训练1】 (1)(2012安徽卷改编)(log29)_.(2)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_.解析(1)(log29)(2log2 3)(2log3
5、2)4.(2)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.答案(1)4(2)2考点二对数函数的图象及其应用【例2】 (2012新课标全国卷改编)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是_审题路线在同一坐标系下作出两个函数y4x与ylogax的图象画函数ylogax的图象可考虑两种情况：a1和0a1观察图象，当a1时不符合题意舍去，所以只画出0a1的情形观察图象的交点满足条件：loga 2即可解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又
6、当x时，2，即函数y4x的图象过点，把点代入函数ylogax，得a，若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1(如图所示)当a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.答案规律方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解【训练2】 (2014石家庄二模)设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则两根满足的条件是_x1x20；x1x21；x1x21；0x1x21.解析构造函数y10x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示因为x1，x2是10x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x21，1
7、x10，则10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，因此10x210x1lg(x1x2)，因为10x210x10，所以lg(x1x2)0，即0x1x21.答案考点三对数函数的性质及应用【例3】 (1)(2013新课标全国卷改编)设alog32，blog52，clog23，则它们的大小关系为_(2)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_解析(1)23,12，32，log3log32log33，log51log5 2log5，log23log22，a1,0b，c1，cab.(2)由题意可得或解得a1或1a0.答案(1)cab(2)(1,0)(1，)规律方法 在解决与对数函数相关
8、的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件【训练3】 (1)(2014郑州模拟)若x(e1,1)，aln x，bln x，celn x，则a，b，c的大小关系为_(2)函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是_解析(1)依题意得aln x(1,0)，bln x(1,2)，cx(e1,1)，因此bca.(2)由于a0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1，又uax3在1,3上恒为正，a30，即a3.答案(1)bca
9、(2)(3，)(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数a1和0a1的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决教你审题2巧用对数函数图象解题【典例】 (2012湖南卷改编)已知两条直线l1：ym和l2：y(m0)，l1与从左至右相交于点A，B，l2与从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为_
10、.审题一审条件：转化函数y|log2x|为y得到图象，如图二审条件：见上图三审条件：转化为a是A，C两点横坐标之差的绝对值，b是B，D两点横坐标之差的绝对值A，B的横坐标即是方程|log2x|m的解，C，D的横坐标即是方程|log2x|的解，求出A，B，C，D点的横坐标四审问题：把转化为关于m的函数，利用导数或不等式求解即可解析数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)上，B，D点的横坐标在区间(1，)上，而且xCxA与xBxD同号，所以.根据已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC，xB2m，xD，所以.只要求出m的最小值即可法一构造函数g(m)m，则g(m)1
11、，由于m0，显然可得g(m)在(0，)上有唯一的极小值点，也是最小值点m，故g(m)ming，即的最小值为8.法二mmm4，当且仅当m，即m时等号成立，故的最小值为8.答案8反思感悟 (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC和BD在x轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大【自主体验】已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3,1的大小关系是_解析分别作出三个函数的图象，如图所示：由图可
12、知，x2x3x11.答案x2x3x11基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1如果0，那么x，y,1的大小关系是_解析，又y是(0，)上的减函数，xy1.答案1yx2(2014深圳调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)log3(1x)，则f(2)_.解析f(2)f(2)log331.答案13函数y的定义域是，则a_.解析要使函数有意义，则3xa0，即x，a2.答案24已知f(x)且f(2)1，则f(1)_.解析f(2)loga(221)loga31，a3，f(1)23218.答案185函数yloga(x1)2(a0，a1)的图象恒过一定点是_解析当x2时y2.答案(2,
13、2)6(2012重庆卷改编)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_解析alog23log2log23log221，blog29log2log23a1，clog32c.答案abc7(2014池州一模)函数ylog2|x|的图象大致是_解析函数ylog2|x|所以函数图象为.答案8(2013苏州二模)若a，bln 2ln 3，c，则a，b，c的大小关系是_abc；cab；cba；bac解析ln 6ln 1，ac，排除，；bln 2ln 32a，排除.答案二、解答题9已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；
14、(3)求f(x)在区间上的值域解(1)由4x10解得x0，因此 f(x)的定义域为(0，)(2)设0x1x2，则04x114x21，因此log4(4x11)log4(4x21)，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上递增(3)f(x)在区间上递增，又f0，f(2)log415，因此f(x)在上的值域为0，log41510已知函数f(x) (a为常数)(1)若常数a0，当0a2时，解得x；当a0时，解得x1.故当0a2时，f(x)的定义域为；当a0时，f(x)的定义域为.(2)令u，因为f(x)logu为减函数，故要使f(x)在(2,4)上是减函数，只需u(x)a在(2,4)上单调递增且为
15、正故由得1a2.故a1,2)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2013西安三模)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f1(x)2log2(x1)，f2(x)log2(x2)，f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，则是“同形”函数的是_f2(x)与f4(x)；f1(x)与f3(x)；f1(x)与f4(x)；f3(x)与f4(x)解析因为f4(x)log2(2x)1log2x，所以f2(x)log2(x2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到ylog2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)log2(2x)1log
16、2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数f3(x)log2x22log2|x|与f1(x)2log2(x1)不“同形”答案2定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)_.解析由f(x2)f(x2)，得f(x)f(x4)，因为4log2205，所以f(log220)f(log2204)f(4log220)f(log2)()1.答案13(2014常州模拟)已知函数f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是_解析由题意可知lnln0，即ln0，从而1，化简得ab1，故aba(1a)a2a2，又0ab1，0a，故02.答案二、解答题4已知函数f(x)xlog2.(1)求ff的值；(2)当x(a，a，其中a(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由解(1)由f(x)f(x)log2log2log210.ff0.(2)f(x)的定义域为(1,1)，f(x)xlog2(1)，当x1x2且x1，x2(1,1)时，f(x)为减函数，当a(0,1)，x(a，a时f(x)单调递减，当xa时，f(x)minalog2.