1、1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标：1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法(重点)2.会求组合体的表面积与体积(难点、易错点)自 主 预 习探 新 知1柱体、锥体、台体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：S底r2；侧面积：S侧2rl；表面积：S2rl2r2圆锥底面积：S底r2；侧面积：S侧rl；表面积：Srlr2圆台上底面面积：S上底r2；下底面面积：S下底r2；侧面积：S侧(rr)l；表面积：S(r2r2rlrl)2.柱体、锥体、台体的体积公式柱
2、体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V(SS)h.思考：(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？提示圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系： S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl.(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？提示柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：VShV(SS)hVSh.基础自测1思考辨析(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的()(3)圆台的高就是相应母线的长()(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图表面积相等()提示(1)(2)
3、侧面展开图不一定是等腰梯形(3)圆台的高是上、下两底面间的距离而不是母线长(4)2正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A48 B64C16 D96B设正方体的棱长为a，则6a296，a4.其体积Va34364.故选B.3侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.a2Ba2C.a2Da2A设正三棱锥的侧棱长为b，则由条件知，b2b2a2，即b2a2，S表a23a2a2.故选A.4圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A15 B30 C12 D36C设圆锥的高为h，如图，则h4.所以其体积VSh32412.故选C.合 作 探 究攻 重 难柱体、棱体、
4、台体的表面积与侧面积(1)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8D10(2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为_. 【导学号：07742053】(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为_cm2.(1)B(2)144(3)8048(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.(2)由题意，得该圆锥的母线长
5、l10，该圆锥的侧面积为81080，底面积为8264，该圆锥的表面积为8064144.(3)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，过B1作B1FBC，垂足为F，在RtB1FB中，BF(84)2，B1B8，故B1F2，所以S梯形BB1C1C(84)212，故四棱台的侧面积S侧41248，所以S表4844888048.规律方法空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和跟踪训练1若圆锥的侧面展开图是圆心角为180，半径为
6、4的扇形，则这个圆锥的表面积是_. 【导学号：07742054】12设圆锥的底面半径为r，则2r4，r2，圆锥的表面积为Sr24241612.2圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为()A81B100C168D169C圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l5r10，所以r2，R8.故S侧(Rr)l(82)10100，S表S侧r2R2100464168.柱体、锥体、台体的体积(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()ABC64D128(2)棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是()A1
7、86B62C24D18(3)如图131所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为_图131思路探究：(1)先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积；(2)直接利用公式求体积即可；(3)正方体的体积减去锥体体积即可(1)A(2)B(3)a3(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r，即lr，由题意得，侧面积S侧rlr216，r4.l4，高h4.圆锥的体积VSh424，故选A.(2)V(SS)h(24)362.故选B.(3)V三棱锥AABDSABDAAa2aa3.故剩余部分的体积VV正方体V三棱锥AABDa
8、3a3.规律方法求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积提醒：求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积跟踪训练3若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为的等边三角形，则该圆锥的体积为() 【导学号：07742055】A3BCDB设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为r.由题意，得(2r)2，得r1，所以该圆
9、锥的体积V12.4已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上r2，S下R24，r1，R2，S侧(rR)l6，l2，h，V(122212).组合体的表面积和体积如图132所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，图132高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积解V六棱柱426248(cm3)，V圆柱32327(cm3)，V挖去圆柱12(32)5(cm3)，此几何体的体积：VV六棱柱V圆柱V挖去圆柱(4822)(cm3)规律
10、方法1求组合体的表面积和体积的三个基本步骤：(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么(2)根据组合体的组成形式设计计算思路(3)根据公式计算求值2求组合体的表面积和体积的解题策略：(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响(2)对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化跟踪训练5.如图133所示，ABC中，AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积图133解过C点作CDAB于点D.如图所示，ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个
11、圆锥的高的和为AB5，底面半径DC，故S表DC(BCAC). 当 堂 达 标固 双 基1若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为()A27 cm3B60 cm3C64 cm3 D125 cm3BV34560 cm3，选B.2圆台的体积为7，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A3 B4C5 D6A由题意，V(24)h7，所以h3.选A.3已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A6B12 C24D48D正四棱锥的斜高h4，S侧46448.4已知三棱锥SABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是_. 【导学号：07742058】如图，在三棱锥SABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO4.在RtSAO中，SO，所以V42.5如图134所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1EDF的体积【导学号：07742059】图134解VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.
