1、四单位圆与三角函数线(20分钟35分)1.如图,点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为()A.B.C.D.【解析】选A.点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,所以QOx=-,所以Q,即Q点坐标为.【补偿训练】已知是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P,则cos =()A.-B.C.D.-【解析】选A.由题意知,解得m=-,所以cos =-.2.如果,那么下列不等式成立的是()A.cos sin tan B.tan sin cos C.sin cos tan D.cos tan sin 【解析】选A.方法一:(特值法)令=,则cos =,tan =,sin =
2、,故cos sin tan .方法二:如图所示,在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线,则cos sin ”或“”)【解析】因为1,且都在第一象限,由它们的正切线知tan 1tan .答案:6.作出-的正弦线、余弦线和正切线.【解析】如图所示,所以角-的正弦线为,余弦线为,正切线为.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设a0,角的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sin +2cos 的值等于()A.B.-C.D.-【解析】选A.因为点P在单位圆上,则|OP|=1.即=1,解得a=.因为asin B.sin 1sin C.sin 1=sin D.sin 1sin
3、 【解析】选B.1和的终边均在第一象限,且的正弦线大于1的正弦线,则sin 1cos x成立的x的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选B.在内,画出sin x与cos x对应的三角函数线是,如图:满足在内,使sin xcos x即MTOM,所以所求x的范围是:.【补偿训练】若点P在第一象限, 则在0,2)内的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.点P在第一象限如图所示,在内的取值范围是.4.已知sin sin ,那么下列命题成立的是()A.若,是第一象限角,则cos cos B.若,是第二象限角,则tan tan C.若,是第三象限角,则cos cos D.若,是第四象限角,则tan
4、 tan 【解析】选D.如图(1),的终边分别为OP,OQ,sin =MPNQ=sin ,此时OMON,所以cos NQ,所以ACAB,即tan NQ,即sin sin ,所以ONOM,即cos cos ,故C错.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列说法正确的是()A.当角的终边在x轴上时角的正切线是一个点B.当角的终边在y轴上时角的正切线不存在C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D.余弦线和正切线的始点都是原点【解析】选ABC.根据三角函数线的概念,A,B,C是正确的,只有D不正确.因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆
5、与x轴正半轴的交点上.6.在平面直角坐标系中,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角以Ox为始边,OP为终边,若tan cos sin ,故A选项错误,符合题意;B选项:当点P在上时,cos =x,sin =y,tan =,所以tan sin cos ,故B选项错误,符合题意;C选项:当点P在上时,cos =x,sin =y,tan =,所以sin cos tan ,故C选项正确,不符合题意;D选项:点P在上且在第三象限,tan 0,sin 0,cos ”“”或“=”),点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)所在的象限为第象限.【解析】因为30.因为|即|s
6、in 3|cos 3|,所以sin 3+cos 3四8.sin ,cos ,tan 从小到大的顺序是.【解析】由图可知:cos 0,sin 0.因为|,所以sin tan .故cos sin tan .答案:cos sin tan 四、解答题(每小题10分,共20分)9.利用三角函数线,确定满足不等式-cos 的的取值范围.【解析】作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作直线x=-,x=,直线x=-与单位圆交于点P1,P2与x轴交于点M1,直线x=与单位圆交于点P3,P4,与x轴交于点M2,连接OP1,OP2,OP3,OP4.在范围内,cos=cos=-,cos=cos=,则点P1,P2,P3,P
7、4分别在角,-,-的终边上.又-cos ,结合图形可知,当时,-或,故的取值范围为2k-2k-,kZ或2k+2k+,kZ.10.利用三角函数线证明:若0sin -sin .【证明】如图所示,单位圆O与x轴正半轴交于点A,与角,的终边分别交于点P,Q,过P,Q分别作OA的垂线,垂足分别是M,N,则sin =NQ,sin =MP.过点Q作QHMP于H,则HP=MP-NQ=sin -sin .连接PQ,由图可知HPsin -sin .1.利用正弦线求得sin 的最大值为,此时的集合为.【解析】如图,的终边与单位圆交于点P,PMx轴于M,则是正弦线,由于M始终在x轴上,P点始终在单位圆上,当M与原点O
8、重合时,的长度最大为1,此时P点在y轴正半轴上时,所以sin 的最大值为1,此时终边与y轴正方向重合,=2k+,kZ.答案:12.利用余弦线,研究余弦函数y=cos x的单调性、最大值和最小值,并分别求出函数取得最大值和最小值时x的值.【解析】如图,在直角坐标系中,角x的顶点与原点重合,始边与横轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P.过点P作横轴的垂线,交横轴于点M,则余弦线为.当角x的终边绕原点从横轴的正半轴开始,按照逆时针方向旋转时,余弦线按照10-101的规律周而复始地变化着.由余弦线可以看出,余弦函数y=cos x在上,从1减少到-1,是减函数;在区间上,从-1增大到1,是增函数.所以,余弦函数y=cos x在区间2k,2k+(kZ)上递减,在区间上递增.当且仅当x=2k时,ymax=1;当且仅当x=+2k时,ymin=-1.
