1、板块命题点专练（十四）命题点一椭圆命题指数：难度：高、中题型：选择题、填空题、解答题1(2015广东高考)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3C4 D9解析：选B由左焦点为F1(4,0)知c4又a5，25m216，解得m3或3又m0，故m32(2016全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A BC D解析：选A如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF
2、|又由OEMF，得，则|MF|由得ac(ac)，即a3c，e故选A3(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A BC D解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0由题意知2b，解得，即e故选B4(2015浙江高考)椭圆1(ab0 )的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_解析：设椭圆的另一个焦点为F1(c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线yx交于点M由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ又O为线段F1F的中点，F1
3、QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|由椭圆的定义得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e答案：5(2015全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解：(1)由题意得，1，解得a28，b24所以C的方程为1(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代
4、入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb于是直线OM的斜率kOM，即kOMk所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值命题点二双曲线命题指数：难度：中题型：选择题、填空题1(2016全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)解析：选A由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，点M的坐标为点M在双曲线上，1，解得ab，ca，e故选D3(2016全国甲
5、卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A BC D2解析：选A法一：作出示意图，如图，离心率e，由正弦定理得e故选A法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e4(2015全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y
6、21法二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21答案：y215(2016北京高考)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示四边形OABC为正方形，|OA|2，c|OB|2，AOB直线OA是渐近线，方程为yx，tanAOB1，即ab又a2b2c28，a2答案：2命题点三抛物线命题指数：难度：中题型：选择题、填空题、解答题1(2015全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的
7、焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6C9 D12解析：选B由题意，设椭圆E的方程为1(ab0)，抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆的方程为1抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由椭圆的对称性可知|AB|2|yA|62(2015浙江高考)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()ABC D 解析：选A由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与
8、ACF的面积之比就等于由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x1点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1在CAN中，BMAN，3(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_解析：双曲线的两条渐近线方程为yx，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BFOA，即kBFkOA1，又kBF，kOA，所以有1，即，故C1的
9、离心率e 答案：4(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解：(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0故所求切线方程为xya0和xya0(2)存在符合题意的点理由如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM
10、，PN的斜率分别为k1，k2将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0故x1x24k，x1x24a从而k1k2当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意命题点四圆锥曲线中的综合问题命题指数：难度：高题型：解答题1(2016全国甲卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，证明：k2解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2将x
11、y2代入1得7y212y0解得y0或y，所以y1因此AMN的面积SAMN2(2)证明：设直线AM的方程为yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k2120由x1(2)，得x1，故|AM|x12|由题意，设直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|由2|AM|AN|，得，即4k36k23k80设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)上单调递增又f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以k22(2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直
12、线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解：(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2所以|MN|x1x2|过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到直线m的距离为，所以|PQ|24 故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为12综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)