1、专题测试三数列、不等式、推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1，a59，则a1()A.BC.D解析：选C.数列an是等比数列，S3a210a1且a59，即a10，q29，a1，故选C.2设a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是()A(ab)4Blglg aCDab2解析：选B.，当且仅当ab时等号成立，C恒成立；a0，b0，2，当且仅当时等号成立，又ab22，当且仅当ab时等号成立，ab2，当且仅当即ab时取等号，D恒成立故选B.3在等差数列an中，an0，且a1a2a1030，则a2a9的最大值是()A3B6C9D3
2、6解析：选C.数列an为等差数列，a1a10a2a9a3a8a4a7a5a6，又a1a2a105(a2a9)30，a2a96.an0，a2a99，当且仅当a2a9时取等号，则a2a9的最大值等于9，故选C.4已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为()A4B16C9D3解析：选B.因为a0，b0，所以由0恒成立得m(3ab)10恒成立因为2 6，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16.5若数列an满足p(p为常数，nN*)，则称数列an为等方比数列已知甲：an是等方比数列，乙：an为等比数列，则命题甲是命题乙的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件
3、D既不充分又不必要条件解析：选C.由数列an是等方比数列不能得知an为等比数列，如取数列1，1，1，1，1，易知该数列是等方比数列，显然不是等比数列；反过来，由an为等比数列可得知p，此时数列an是等方比数列综上所述，命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选C.6设变量x，y满足约束条件，则目标函数z的最大值为()A.B3C6D9解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可得，在点B(1，6)处目标函数取得最大值，且zmax6.7在各项均为正数的等比数列an中，a31，a51，则a2a2a6a3a7()A4B6C8D84解析：选C.在等比数列an中，a3a7a，
4、a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28，选C.8已知数列an的前n项和为Sn，a11，2Snan1，则Sn()A2n1B2n1C3n1D(3n1)解析：选C.由2Snan1得2Snan1Sn1Sn，所以3SnSn1，即3.所以数列Sn是以S1a11为首项，公比q3的等比数列，所以Sn3n1，故选C.9已知各项均不为零的数列an，定义向量cn(an，an1)，bn(n，n1)，nN*.下列命题中真命题是()A若nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列B若nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列C若nN*总有cnbn成立，则数列an是等差
5、数列D若nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列解析：选D.由cnbn得，nan1(n1)an，即，所以，所以anna1，故数列an是等差数列，选D.10已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an，使得 4a1，则最小值为()A.BC.D不存在解析：选A.设等比数列an的公比为q，首项为a1，因为a7a62a5，所以q2q20，解得q2或q1，因为数列an每一项都为正项，所以q1(舍去)，因为4a1，所以2mn64，即mn6，所以(mn)，当且仅当，即m2，n4时，取等号，所以的最小值为，故选A.11对于函数yf(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y
6、745813526数列xn满足x12，且对任意nN*，点(xn，xn1)都在函数yf(x)的图象上，则x1x2x3x4x2 015x2 016的值为()A9 394B9 380C9 396D9 408解析：选D.由题意知xn1f(xn)，则x2f(x1)f(2)4，x3f(x2)f(4)8，x4f(x3)f(8)2，x5f(x4)f(2)4，所以数列xn是周期为3的周期数列所以x1x2x3x4x2 015x2 016672(x1x2x3)672(248)672149 408，所以选D.12已知函数y的两个极值点分别为x1，x2，且x1(0，1)，x2(1，)，记分别以m，n为横、纵坐标的点P(
7、m，n)表示的平面区域为D，若函数yloga(x4)(a1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为()A(1，3B(1，3)C(3，)D答案：(，715设实数x，y满足约束条件则目标函数zxy的最大值为 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据图形可知，只有直线zxy在第一象限与圆x2y22x2y0相切时z最大根据，解得z4(z0舍去)，故所求的最大值为4.答案：416下表给出一个“三角形数阵”已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(ij，i，jN*)，则a53 ，解析：由题意可知第一列的首项为，公差d，第
8、二列的首项为，公差d，所以a514，a523，所以第5行的公比为q，所以a53a52q.答案：三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知f(x)3x2a(5a)xb.(1)当不等式f(x)0的解集为(1，3)时，求实数a，b的值；(2)若对任意实数a，f(2)0恒成立，求实数b的取值范围解：(1)f(x)0即3x2a(5a)xb0，3x2a(5a)xb0，解得或(2)f(2)0，即122a(5a)b0，则2a210a(12b)0对任意实数a恒成立，1008(12b)0，b.实数b的取值范围为.18(12分)设数列an的前n项和Sn2n1，数列bn满足bnn.(1)求
9、数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当n1时，a1S14.由Sn2n1得Sn12n(n2)，anSnSn12n12n2n(n2)，an(2)当n1时，b11，T1.当n2时，bnnnn，Tn(234n)(1234n)，上式对于n1时也成立，Tn.19(12分)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n
10、7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4，2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1，2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式，综上，Sn20(12分)已知数列an满足Snan(nN*)，其中Sn是数列an的前n项和，且a22.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前2n项和T2n.解：(1)由题意Snan得Sn1an1，两式相减得2an1(n1)an1
11、nan，即(n1)an1nan，n2时，(n2)an(n1)an1，得(n1)an1(n1)an12(n1)an.即n2时，an1an12an，an为等差数列由Snan可得a10，又a22，an2(n1)(2)由条件bn知，当n为奇数时，bnan2(n1)，当n为偶数时，bna2n2(2n1)2n12.T2n(b1b3b2n1)(b2b4b2n)2(232522n1)2n2n22n2n.21(12分)已知f(x)x2pxq，其中p0，q0.(1)当pq时，证明；(2)若f(x)0在区间(0，1)，(1，2)内各有一个根，求pq的取值范围；解：(1)证明：q，1，q1，pq0，0，即0，.(2)
12、由题意得，即，又p0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由线性规划的知识可知，1pq5.22(12分)(2015高考安徽卷)设nN*，xn是曲线yx2n21在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标(1)求数列xn的通项公式；(2)记Tnxxx，证明：Tn.解：(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1，2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1)令y0，解得切线与x轴交点的横坐标xn1，所以数列xn的通项公式xn.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，Tnxxx.当n1时，T1.当n2时，因为x，所以Tn.综上可得，对任意的nN*，均有Tn.