1、福建省永泰县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 完卷时间：120分钟 满分：150分第卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（ ）A. 32人 B. 56人 C. 104人 D. 112人2. 袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（ ）A. 至少有一个白球；全部都是红球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球C. 恰有一个白球；
2、恰有一个红球 D. 恰有一个白球；全部都是红球3. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点,在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）A. B. C. D. 4. 在区间上任取一个数，使直线与圆相交的概率为( )A B C D 5. 永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 6. 已知双曲线C：(a0，b0)，斜率为的直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为P(2,4)，则双曲线的渐近线方程为（ ）
3、 A. B. C. D. 7. 第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如下表所示），张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（ ）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A B C D8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于( )A4 B2 C2 D3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20
4、分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分.）9.某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分.B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数.D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数.10.下列说法中错误的是（ ）A.“”是“椭圆的离心率为”的充要条件
5、B.设，命题“若，则”是真命题；C.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D.命题“若，则”的否命题是真命题234561925384411. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如右表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为,下列说法正确的是（ ）A. 看不清的数据的值为34B. 回归直线必经过样本点（4，）C.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，抛物线的准线过
6、双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，则下列说法正确的是 （ ）A双曲线C的渐近线方程为y2x B双曲线C的方程为C为定值 D存在点P，使得2第卷 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：，已知抽取的印张中最小的两个编号为，则抽取的印张中最大的编号为_14. 已知命题“”是真命题，则a的取值范围为_. 15.如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要
7、用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为_米. 16. 已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，点，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，点在轴上的射影为点，设直线的斜率分别为和.则的最小值为_，的值为_.（第一空3分，第二空2分）四、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题p：对于任意，不等式恒成立命题：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当时，若“或”为真，求实数的取值范围.（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围18. （本小题满分12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦
8、点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.19（本小题满分12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示：星期12345单支售价x（元）1.41.61.822.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量单支售价日销
9、售量单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程,，）20.（本小题满分12分）已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，线段的中点为.（1）点在椭圆上，求的取值范围；（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；21（本小题满分12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83-100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71-82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59-70；D等级，排名等级占比1
10、5%，分数区间是41-58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30-40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中 a 的值； （2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在40,50) 和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取 2 人进行调查分析，求这 2 人中至少一人原始成绩在40,50)内的概率.22（本小题满分12分）如图所示，已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段
11、的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线有两个不同的交点，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）1-5：C D A D B 6-8:C B A二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.AC 10.ABD 11.AD 12.BCD三、填空题（每小题5分，共20分）13、109 14、 15、(可写成3.84) 16、，0三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17、解：（1）若命题p为真命题，则，解得 1分当时，命题： 2分因为 或为真，所以真或真
12、 3分所以：或得： 5分（2）若命题为真命题，则6分因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件7分所以：得： 9分经检验符合，所以a的取值范围为： 10分18、解：（1）设双曲线的方程为（，），由题设1分所以，又点在双曲线上，所以 2分由解得， 3分故双曲线标准方程为；4分设双曲线的焦距为，因为，得，所以抛物线焦点为，即 5分所以抛物线的标准方程为 6分（2）设直线交抛物线于，联立得 8分则故 由抛物线定义知，10分所以12分19、解：（1）因为1分 2分所以 4分则5分所以，回归直线方程为 6分（2）当时，得 8分假设日利润为，则：，10分当元时，有。11分答：单支售价为1元时，
13、销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元。12分20、解：（1）因为焦距，则，所以左焦点，右焦点1分则2分所以，所以 ，所以椭圆方程为.3分设点，则5分因为，所以的取值范围为：6分（2）设直线的方程为()联立消去得 8分其中：，不妨设， ，为线段的中点则， 9分所以， 10分所以 所以为定值. 12分21、解：（1）由题意(0.010 + 0.015 + 0.015 + a + 0.025+0.005)10 =1 2分所以 a = 0.030 ；3分（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%=80%4分假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，则有：（
14、0.010 + 0.015 + 0.015 + 0.03）10+（x-80）0.025=0.85分所以x=84(分) 6分答：原始分不少于84分才能达到赋分后的C等级及以上 7分（3）由题知评分在40,50)和内的频率分别为 0.1 和 0.15， 则抽取的 5 人中，评分在40,50) 内的有 2 人，评分在的有 3 人8分记评分在内的 3 位学生为 a，b，c，评分在40,50) 内的 2 位学生为 D，E， 则从 5 人中任选 2 人的所有可能结果为：(a,b)，(a, c) ，(a, D) ，(a, E) ，(b,c)，(b, D)，(b,E)，(c, D) ，(c,E) ，(D,E) 共 10 种；10分其中，这 2 人中至少一人评分在40,50) 内可能结果为：(a, D) ，(a, E) ，(b, D)，(b,E)，(c, D) ，(c,E) ，(D,E) ，共 7 种； 11分所以这 2 人中至少一人评分在40,50) 的概率为：P = 12分22、解：（1）1分所以点的轨迹C是以为焦点，以4为长轴长的椭圆所以得，半焦距 2分所以3，轨迹的方程为： 3分经检验，轨迹的方程为：().4分（2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 5分由消去得6分设，则， 8分不妨设，同理 9分所以11分即，所以存在实数使得成立. 12分