1、72.4直线的斜率第1课时倾斜角与斜率学习目标1理解直线的倾斜角和斜率的概念2掌握求直线斜率的两种方法预习导引1直线的倾斜角(1)当直线l与x轴相交时，它的倾斜角就是x轴绕交点沿逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角当直线与x轴平行或重合时，规定倾斜角0(2)倾斜角的范围：0.2斜率的概念及斜率公式定义倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，记为k，即ktan_取值范围当0时，k0；当090时，k0；当90180时，k0；当90时，斜率不存在过两点的直线的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k(x1x2)要点一直线的倾斜角例1设直线l过坐标
2、原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾角为135答案D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.规律方法1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答2求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论跟踪演练1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴
3、正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A B180C180或90 D90或90答案D解析如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.要点二直线的斜率例2已知直线l过P(2，1)，且与以A(4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率kPA，直线PB的斜率kPB，结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90，故斜率的取值范围为，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范
4、围是.综上可知，直线l的斜率的取值范围是.规律方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解跟踪演练2已知两点A(3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1，或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜
5、角是135，所以的取值范围是45135.要点三斜率公式的应用例3已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.规律方法若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解跟踪演练3已知实数x，y满足yx2x2(1x1)，试求的最大值和最小值解由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率
6、k，由图可知kPAkkPB，由已知可得A(1，2)，B(1，4)则kPA，kPB7.k7，的最大值为7，最小值为.1下图中能表示直线l的倾斜角的是()A B C D答案A解析结合直线l的倾斜角的概念可知只有可以，选A.2已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. B. C1 D.答案A解析由题意可知，ktan 30.3过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y()A B. C1 D1答案C解析tan 45kAB，即1，所以y1.4直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A090 B90180C90180 D0180答案C解析直线倾斜角的取值范围是0180，又直
7、线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90180.5如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_答案k1k3k2解析设l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则由图可知032901tan 30，tan 10，故k1k30D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan 答案D解析对于A，当90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan ，但只有0180时，才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，0，sin 0，故C不正确，故选D.2若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A45，
8、1 B135，1C90，不存在 D180，不存在答案C解析由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90，斜率不存在故选C.3过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是135，则y等于()A1 B5 C1 D5答案D解析由斜率公式可得：tan 135，1，y5.选D.4直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角的取值范围是()A090 B90180C90180或0 D90135答案C解析倾斜角的取值范围为0180，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴5斜率为2的直线经过点A(3，5)，B(a，7)，C(1，b)三点，则a，b的值为()Aa4，b0 Ba4
9、，b3Ca4，b3 Da4，b3答案C解析由题意，得，即解得a4，b3.6如果过点P(2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m_答案1解析由斜率公式知1，解得m1.7已知直线l上两点A(2，3)，B(3，2)，求其斜率若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a时，b的值解由斜率公式得kAB1.C在l上，kAC1，即1.ab10.当a时，b1a.二、能力提升8在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为()A2 B0 C. D2答案B解析由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60，120，所以tan 60tan 120
10、()0.9若经过点P(1a，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_答案(2，1)解析直线的倾斜角为钝角，k0，解得2a1.10直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是_答案0，2解析如图，当直线l在l1位置时，ktan 00；当直线l在l2位置时，k2.故直线l的斜率的取值范围是0，211过点M(0，3)的直线l与以点A(3，0)，B(4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解如图所示，(1)直线l过点A(3，0)时，即为直线MA，倾斜角1为最小值tan 11，145.(2)直线l过点B(4，1)时，即为直线MB，倾斜角
11、2为最大值，tan 21，2135.所以直线l倾斜角的取值范围是45135.当90时，直线l的斜率不存在；当4590时，直线l的斜率ktan 1；当90135时，直线l的斜率ktan 1.所以直线l的斜率k的取值范围是(，11，)三、探究与创新12已知A(1，1)，B(1，1)，C(2，1)(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围解(1)由斜率公式得kAB0，kAC.(2)如图所示kBC.设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.13光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率解法一设Q(0，y)，则由题意得kQAkQB.kQA，kQB，.解得y，即点Q的坐标为，k入kQA.法二如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B(4，3)，kAB，由题意得，A，Q，B三点共线从而入射光线的斜率为kAQkAB.设Q(0，y)，则k入kQA.解得y，即点Q的坐标为.